Материал: 00464

Графы и бинарные отношения

Напомним, что бинарным отношением на множестве называется любое подмножество множества , состоящего из всевозможных упорядоченных пар элементов множества . Каждому такому отношению можно поставить в соответствие граф отношения . Сравнивая с тем, что говорилось выше об определениях различных типов графов, видим, что понятие бинарного отношения эквивалентно понятию ориентированного графа с петлями. Другие типы графов без кратных ребер - это частные виды бинарных отношений. Отношение называется рефлексивным, если для любого пара принадлежит , и антирефлексивным, если ни одна такая пара не принадлежит . Отношение называется симметричным, если из следует, что . В графе антирефлексивного и симметричного отношения нет петель и для каждой пары вершин либо нет ни одного, либо есть два ребра, соединяющих эти вершины. Если в таком графе каждую пару ориентированных ребер, соединяющих одни и те же две вершины, заменить одним неориентированным ребром, то получится обыкновенный граф.

Откуда берутся графы

Легко найти примеры графов в самых разных областях науки и практики. Сеть дорог, трубопроводов, электрическая цепь, структурная формула химического соединения, блок-схема программы - в этих случаях графы возникают естественно и видны "невооруженным глазом". При желании графы можно обнаружить практически где угодно. Это наглядно показано в книге Д.Кнута [D.E.Knuth, "The Stanford GraphBase"] - графы извлекаются из романа "Анна Каренина", из картины Леонардо да Винчи, из материалов Бюро Экономического Анализа США и из других источников.

Немало поводов для появления графов и в самой математике. Наиболее очевидный пример - любой многогранник в трехмерном пространстве. Вершины и ребра многогранника можно рассматривать как вершины и ребра графа. При этом мы отвлекаемся от того, как расположены элементы многогранника в пространстве, оставляя лишь информацию о том, какие вершины соединены ребрами. На рис. 1.4 показаны три способа изобразить один и тот же граф трехмерного куба.

Рис. 1.4.

Еще один способ образования графов из геометрических объектов иллюстрирует рис. 1.5. Слева показаны шесть кругов на плоскости, а справа - граф, в котором каждая вершина соответствует одному из этих кругов и две вершины соединены ребром в том и только том случае, когда соответствующие круги пересекаются. Такие графы называют графами пересечений. Можно построить граф пересечений семейства интервалов на прямой, или дуг окружности, или параллелепипедов. Вообще, для любого семейства множеств можно построить граф пересечений с множеством вершин , в котором ребро имеется тогда и только тогда, когда и . Известно, что любой граф можно представить как граф пересечений некоторого семейства множеств.

Рис. 1.5.

Число графов

Возьмем какое-нибудь множество , состоящее из элементов, и будем рассматривать всевозможные (обыкновенные!) графы с множеством вершин . Обозначим число таких графов через . Эти графы различаются только множествами ребер, а каждое ребро - это неупорядоченная пара различных элементов из . В комбинаторике такие пары называются сочетаниями из по 2, их число равно

Каждая пара может быть включена или не включена в множество ребер графа. Применяя правило произведения, приходим к следующему результату:

Теорема 1. .

Смежность, инцидентность, степени

Если в графе имеется ребро , то говорят, что вершины и смежны в этом графе, ребро инцидентно каждой из вершин , , а каждая из них инцидентна этому ребру.

Множество всех вершин графа, смежных с данной вершиной , называется окрестностью этой вершины и обозначается через .

На практике удобным и эффективным при решении многих задач способом задания графа являются так называемые списки смежности. Эти списки могут быть реализованы различными способами в виде конкретных структур данных, но в любом случае речь идет о том, что для каждой вершины перечисляются все смежные с ней вершины, т.е. элементы множества . Такой способ задания дает возможность быстрого просмотра окрестности вершины.

Число вершин, смежных с вершиной , называется степенью вершины и обозначается через .

Если сложить степени всех вершин некоторого графа, то каждое ребро внесет в эту сумму вклад, равный 2, поэтому справедливо следующее утверждение:

Теорема 2. .

Это равенство известно как "лемма о рукопожатиях". Из него следует, что число вершин нечетной степени в любом графе четно.

Вершину степени называют изолированной.

Граф называют регулярным степени , если степень каждой его вершины равна .

Набор степеней графа - это последовательность степеней его вершин, выписанных в неубывающем порядке.

Некоторые специальные графы

Рассмотрим некоторые особенно часто встречающиеся графы.

Пустой граф - граф, не содержащий ни одного ребра. Пустой граф с множеством вершин обозначается через .

Полный граф - граф, в котором каждые две вершины смежны. Полный граф с множеством вершин обозначается через .

Граф , в частности, имеет одну вершину и ни одного ребра. Очевидно, . Будем считать также, что существует граф , у которого .

Цепь(путь) - граф с множеством вершин и множеством ребер .

Цикл - граф, который получается из графа добавлением ребра .

Все эти графы при показаны на рис. 1.6

Рис. 1.6.

Графы и матрицы

Пусть - граф с вершинами, причем . Построим квадратную матрицу порядка , в которой элемент , стоящий на пересечении строки с номером и столбца с номером , определяется следующим образом:

Она называется матрицей смежности графа. Матрицу смежности можно построить и для ориентированного графа, и для неориентированного, и для графа с петлями. Для обыкновенного графа она обладает двумя особенностями: из-за отсутствия петель на главной диагонали стоят нули, а так как граф неориентированный, то матрица симметрична относительно главной диагонали. Обратно, каждой квадратной матрице порядка , составленной из нулей и единиц и обладающей двумя указанными свойствами, соответствует обыкновенный граф с множеством вершин .

Другая матрица, ассоциированная с графом - это матрица инцидентности. Для ее построения занумеруем вершины графа числами от 1 до , а ребра - числами от 1 до . Матрица инцидентности имеет строк и столбцов, а ее элемент равен 1, если вершина с номером инцидентна ребру с номером , в противном случае он равен нулю. На рис. 1.7 показан граф с занумерованными вершинами и ребрами и его матрицы смежности и инцидентности.

Взвешенные графы

Часто, особенно когда графы используются для моделирования реальных систем, их вершинам, или ребрам, или и тем, и другим приписываются некоторые числа. Природа этих чисел может быть самая разнообразная. Например, если граф представляет собой модель железнодорожной сети, то число, приписанное ребру, может указывать длину перегона между двумя станциями, или наибольший вес состава, который допустим для этого участка пути, или среднее число поездов, проходящих через этот участок в течение суток и т.п. Что бы ни означали эти числа, сложилась традиция называть их весами, а граф с заданными весами вершин и или ребер - взвешенным графом.

Изоморфизм

На рис. 1.8 изображены два графа с одним и тем же множеством вершин . При внимательном рассмотрении можно обнаружить, что это разные графы - в левом имеется ребро , в правом же такого нет. В то же время, если не обращать внимания на наименования вершин, то эти графы явно одинаково устроены: каждый из них - цикл из четырех вершин. Во многих случаях при исследовании строения графов имена или номера вершин не играют роли, и такие графы, один из которых получается из другого переименованием вершин, удобнее было бы считать одинаковыми. Для того чтобы это можно было делать "на законном основании", вводится понятие изоморфизма графов.

Рис. 1.8.

Определение. Графы и называются изоморфными, если существует такая биекция множества на множество , что тогда и только тогда, когда . Отображение в этом случае называется изоморфизмом графа на граф .

Тот факт, что графы и изоморфны, записывается так: .