Материал: 04

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

S(x) S(x

) (S(x) S

(x)) (S(x

) S

) (S

(x) S

))

S(x) S

(x) S(x

) S

(x) S

)

Выберем произвольное число

. В силу равномерной сходимости

ряда можно фиксировать номер

такой,

что неравенство

S (x) Sn

(x)

будет выполнено

для

всех

x a, b

, в том числе и

для

. При

фиксированном

частичная сумма

ряда Sn (x) является непрерывной на

отрезке a, b как сумма конечного числа непрерывных функций. Поэтому

для выбранного

найдется

такое

число

что

для

любого x,

удовлетворяющего неравенству

x x

, будет выполнено неравенство:

Sn (x) Sn (x0 ) .

Тогда разность:

S (x) S (x

)

что доказывает непрерывность суммы ряда в точке

, а т.к.

0 выбрано

произвольно на отрезке

a, b

, то

S(x)

непрерывна на

a, b

Другие свойства равномерно сходящихся рядов сформулируем без доказательства.

2. Почленное интегрирование.

Теорема. Если функции

u	n	(x)
	n

(n 1,2,3,...)

непрерывны на отрезке

, а

ряд

(x)

сходится равномерно на этом отрезке, то интеграл от суммы

n 1

a, b

ряда

S(x)

на отрезке

представляется в виде

суммы интегралов от

членов этого ряда:

S (x)dx un (x)dx .

n 1 a

Замечание.

Интегрирование

можно выполнить

на

любом отрезке,

принадлежащем отрезку

a, b

Пример 5. Вычислить сумму числового ряда

n 1

Пусть S - искомая сумма, представим S в виде:

n 1

3 n 1 3

Рассмотрим функциональный ряд


n x	n 1
n x
n 1

На любом отрезке,

принадлежащем интервалу ( 1,1) , этот ряд сходится равномерно, т.к.

мажорируется сходящимся числовым рядом. Пусть	(x)	– сумма этого ряда,

тогда:

	1
	3
	3

(	1	)
	3

Применим к построенному функциональному ряду теорему о
почленном интегрировании. Интегрирование выполним на отрезке			0, x ,
полагая, что	x ( 1,1)	.

	x	x					x
	(x)dx n x n 1dx x n						x	.

						1	x
	0	n 1 0			n 1	1	x
	0	n 1 0			n 1
		x	1
		x	1
Тогда	(x)			2	. Искомая сумма
Тогда	1	x	(1 x)	2	. Искомая сумма
	1	x	(1 x)

3. Почленное дифференцирование.

S	1		1
S	3				2
				1	2
				1
		1
				3

3 4

Теорема. Пусть функции un (x)

отрезке

a, b и имеют на этом отрезке

1,2,3,...)	определены и непрерывны на

непрерывные производные	u	(x)	. Ряд
	n

un (x) n 1

сходится, а ряд

	n
	n
	u (x)
n 1

сходится равномерно на отрезке


Тогда сумма S(x) ряда		u	n	(x)	дифференцируема на отрезке
Тогда сумма S(x) ряда			n		дифференцируема на отрезке
	n 1
производная суммы равна сумме ряда из производных:						S (x)
производная суммы равна сумме ряда из производных:

a, b

	n
	u (
n 1

, причем

Пример 6. Вычислить сумму числового ряда 2n n .

n 1

	x	n
Рассмотрим функциональный ряд	x
Рассмотрим функциональный ряд	n
n 1	n

( 1,1) . Обозначим исходную сумму

функционального ряда	S (x)	. Тогда
	S (x)

, который сходится на интервале

числового			ряда S, а	сумму
	1
S S
S S
	2	.	Рассмотрим	ряд из

производных x n 1 . Этот ряд сходится равномерно на любом отрезке,

n 1

принадлежащем интервалу ( 1,1) , т.к. мажорируется сходящимся числовым рядом, Применим к данному ряду теорему о почленном дифференцировании:

S (x)

Учитывая,

	1
S S
S S
	2

					1
x n 1 x n					1	.

				1	x
n 1		n 0		1	x
n 1		n 0
что	S (0) 0		,		получим
что			,		получим
	1
ln 1		ln 2 .
ln 1		ln 2 .
	2

ln(1

Искомая сумма

Источник: https://studfile.net/preview/16403766/

Смотрите также:




_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей