§ 11. Параболическая регрессия

Уравнение параболической регрессии имеет вид

.

Если использовать метод наименьших квадратов (МНК), то для коэффициентов составляется и решается нормальная система линейных уравнений с матрицей

Входящие сюда величины подсчитываются по данным наблюдений.

Левая часть – это средние значения различных степеней фактора Х. Правая – это средние значения произведений:

или

Посчитывая эти числа и решая систему уравнений, находим коэффициенты регрессии.

Можно подсчитывать каждую из этих величин в отдельности. Но можно применить для этого и другой способ, матричный. При этом вся матрица коэффициентов системы подсчитывается сразу.

Для этого сначала нужно сформировать исходные данные в виде матриц

Для фактора Х эта матрица состоит из трех столбцов:

• столбец из единиц;

• столбец собственно Х;

• столбец квадратов.

Здесь величины записаны точно так же, как и в уравнении регрессии:

Теперь исходные данные собраны в двух матрицах. Это матрица X. и матрица Y.

Матрица нормальной системы вычисляется произведением матриц

где - транспонированная матрица.

Столбец правых частей нормальной системы вычисляется как произведение матриц

Если и неизвестные коэффициенты сформировать в матрицу

то сама система тоже может быть записана в матричном виде.

.

Но тогда естественно и решение получить в матричной записи, в виде обратной матрицы:

Замечание:

Если строить уравнение регрессии в виде многочлена

и при этом использовать матричный способ составления и решения нормальной системы, то формулы нисколько не изменятся, только матрица Х исходных данных будет содержать уже n столбцов.

Проверка адекватности квадратичного уравнения регрессии

Проводится по критерию Фишера

ъ

Проводится сравнение двух дисперсий: исправленной дисперсии фактора Y и дисперсии остатков

• исправленная дисперсию Y :

• дисперсия остатков: .

- число коэффициентов в уравнении регрессии, т.е. сейчас 3.

Подсчитанной наблюдаемое значение критерия Фишера сравниваем с найденным из таблиц критическим значением. Для пользования таблицами задаем уровень значимости и числа степеней свободы:

Чем больше F _набл по сравнению с F _кр , тем выше адекватность . Сравнивая, делаем вывод об адекватности (или неадекватности) построенной корреляционной модели причем оцениваем и степень адекватности.