Материал: 18_Гришова_03

Гришова П., МП-40

Лабораторная работа 3.

Задание 1.

Проработайте файл ДемоРеш_01_01.doc с частью решения (для игрока В) задачи №1 из задания_01.

Решение.

Демонстрация решения 1-й игры из задания 1 сведением ее к задаче линейного программирования.

Платежная матрица:

>> A=[0 2 -3 0;-2 0 0 3;3 0 0 -4;0 -3 4 0]

A =

0 2 -3 0

-2 0 0 3

3 0 0 -4

0 -3 4 0

Ранее мы установили, что эта игра без седловой точки, т.к. точная нижняя цена игры равна -2, а точная верхняя цена игры равна 2. Следовательно, можно искать решение игры в оптимальных смешанных стратегиях.

Сначала преобразуем платежную матрицу игры, чтобы среди ее элементов не было отрицательных.

>> A=A+4

A =

4 6 1 4

2 4 4 7

7 4 4 0

4 1 8 4

Выпишем необходимые и достаточные условия (4) теоремы 1:

что представляет собой произведение матрицы А на вектор q, т.к. v > 0, то можно обе части неравенства поделить на v и произвести замену .

Игрок В стремится к минимальному проигрышу, т.е. к v min или .

Задача ЛП для игрока В принимает вид:

Коэффициентами в целевой функции f будут четыре единицы. Однако поскольку linprog ищет минимум целевой функции, первым аргументом следует взять –f. Далее условие неотрицательности надо учесть дополнением матрицы А снизу диагональной матрицей с четырьмя минус единицами на главной диагонали, а столбец правой части четырьмя нулями.

>> f=ones(1,4); b=ones(4,1);

>> [y,fmin]=linprog(-f,[A;-diag(ones(4,1))],[b;zeros(4,1)])

Optimization terminated.

y =

-0.0000

0.1441

0.1059

-0.0000

fmin =

-0.2500

Интересующий нас максимум получится как v=-1/fmin. Почему нужен знак минус?

Из-за работы ф-ии linprog : она находит минимум, а нам нужно найти максимум, следовательно мах=-мin.

>> v=-1/fmin

v =

4.0000

>> q=v*y

q =

-0.0000

0.5764

0.4236

-0.0000

Мы получили закон распределения для выбора оптимальных смешанных стратегий игрока В.

Цена игры = 4.

Решение для игрока А.

A=[0 2 -3 0;-2 0 0 3;3 0 0 -4;0 -3 4 0];

f=ones(1,4);b=ones(4,1);

A=A'+4;

[y,fmax]=linprog(f,-[A;diag(ones(4,1))],-[b;zeros(4,1)])

v=1/fmax

q=v*y

Optimization terminated.

y =

0.0000

0.1468

0.1032

0.0000

fmax =

0.2500

v =

4.0000

q =

0.0000

0.5874

0.4126

0.0000

Задание 2.

Решите задачу №2 из задания_02. Оформите решение в виде отчета, выполните статистическое моделирование этой игры с проверкой утверждений теорем лекции 3 и также включите в отчет.

Решение.

Конкурирующие фирмы А и В производят однородный сезонный товар, пользующийся спросом в течение n единиц времени. Доход от продажи товара в единицу времени составляет С ден. ед. Фирма В, будучи более состоятельной, в ходе конкурентной борьбы стремится вытеснить фирму А с рынка сбыта, способствуя своими действиями минимизации ее дохода, не считаясь при этом с временными потерями части своего дохода в надежде наверстать упущенное в будущем. Действующее законодательство не позволяет использовать для этого заведомое занижение цены на товар (прибегать к демпинговым ценам). Единственным допустимым способом достижения своей цели для фирмы В (как и для фирмы А в целях защиты своих интересов на рынке сбыта) остается повышение качества товара и надлежащий выбор момента времени поставки его на рынок сбыта. Уровень спроса на товар зависит от его качества, и в данный момент реализуется тот товар, качество которого выше. Повышение же качества требует дополнительных затрат времени на совершенствование технологии его изготовления и переналадку оборудования. Поэтому будем предполагать, что качество товара тем выше, чем позже он поступает на рынок.

Платежная матрица.

Задача ЛП.

Фирма В стремится к максимальному доходу, т.е. к или v min.

Задача ЛП для игрока В принимает вид:

Решение в matlab.

A = [ 250 100 200 300 400;

400 200 100 200 300;

300 300 150 100 200;

200 200 200 100 100;

100 100 100 100 50];

f=ones(1,5);b=ones(5,1);

D=zeros(5,5);

[y,fmin]=linprog(-f,[A;D-diag(ones(5,1))],[b;zeros(5,1)])

v=-1/fmin

q=v*y

Optimization terminated.

y =

0

0.0015

0.0031

0.0008

0

fmin =

-0.0054

v =

185.7143

q =

0

0.2857

0.5714

0.1429

0

Во 2й лаб.раб. рассмотрели случай p*=[3/7 0 2/7 2/7 0] и q*=[0 2/7 4/7 1/7 0], при этом доход фирмы после 100 сезонов составил: 180,5. Заметим, что найденное q->q*

Для игрока А.

A=A-500;

[y,fmax]=linprog(f,[A;D-diag(ones(5,1))],-[b;zeros(5,1)])

v=1/fmax;

p=v*y

Optimization terminated.

y =

0.0000

0.0009

0.0018

0.0005

0.0000

fmax =

0.0032

p =

0.0000

0.2857

0.5714

0.1429

0.0000

А найденное p->p* (p*=[3/7 0 2/7 2/7 0]).

Проверка теории.

Т.к. получили решения для обоих игроков значит утверждение о решении двойственных задач верно.

Проверим утверждение о том что если {p*,q*,v} решение системы с платежной матрицей А, то {p*,q*,b*v+c} решение системы с платежной матрицей B*A+C. Для этого в последней задаче добавим строку A=10*A+100 тогда результаты будут другими

Игрок В.

Optimization terminated.

y =

1.0e-003 *

0.0000

0.1460

0.2920

0.0730

-0.0000

fmin =

-5.1095e-004

v =

-1.9571e+003

p =

-0.0000

-0.2857

-0.5714

-0.1429

0.0000

Сравниваем с решением предыдущего:

>> v1 = - 185.7143*10 - 100

v1 =

-1.9571e+003

Игрок А.

y =

1.0e-003 *

0.2190

0.0000

0.1460

0.1460

0

fmax = 5.1095e-004

v = 1.9571e+003

q =

0.4286

0.0000

0.2857

0.2857

0

Видим, что опять цена игры для обоих игроков одинакова и равна 1957 что соответствует 10*185.7+100, что опять же хорошо согласуется с теорией изложенной на лекции