Материал: 31.кин и пот эн + ур с двумя степ свободы

Принцип составления уравнений колебаний в матричной форме на примере одноосной модели с двумя степенями свободы

Рисунок 1.1. Линейная одноосная модель как система с двумя степенями свободы

Рассмотрим принцип составления уравнений колебаний в матричной форме на примере одноосной модели с двумя степенями свободы (рисунок 5.1). Такая модель используется при исследовании совместных колебаний подпрыгивания кузова и тележек при движении по абсолютно жесткому пути подвижного состава, имеющего две ступени подвешивания. В модели масса - суммарная масса всех тележек локомотива, масса - масса кузова. Каждая из масс может совершать вертикальные колебания, поэтому система имеет две степени свободы. Пружина с жесткостью и гаситель с коэффициентом затухания эквивалентны буксовому подвешиванию, а пружина и гаситель с характеристиками и эквивалентны центральному подвешиванию. Рассмотрим колебания динамической системы при кинематическом возмущении. Составим уравнения сил, действующих на каждую массу, в соответствии с принципом Даламбера. Для этого необходимо поочередно зафиксировать (“мысленно закрепить”) каждую массу.

Для массы при фиксировании уравнение действующих сил будет иметь вид

. (5.3)

Аналогично фиксируя , получим уравнение для массы

. (5.4)

Выражения для сил, входящих в уравнения (5.3) и (5.4), с учетом того, что и имеют вид

, (5.5)

, (5.6)

, (5.7)

, (5.8)

, (5.9)

. (5.10)

Подставляя выражения (5.5)…(5.10) в уравнения (5.3) и (5.4), получим уравнения колебаний динамической модели.

Для массы имеем

. (5.11)

Для массы имеем

. (5.12)

Полученные уравнения колебаний в совокупности представляют собой систему дифференциальных уравнений (в данном случае их два, так как k=2).

Как видно из этой системы уравнений, колебания обоих масс связаны, так как в оба уравнения входят обобщенные координаты перемещений , скоростей и ускорений . Между координатами этой системы имеется упруго-диссипативная связь. Запишем систему в матричной форме.

Правило записи в матричную форму:

1. Записываются полученные уравнения в систему, при этом в каждом уравнении на первом месте стоят члены, относящиеся к координате начиная с производной наибольшего порядка.

2. Заготавливаются формы матриц , и размером kk (в рассматриваемом примере - 22), а матриц , , размером k1 (в рассматриваемом примере - 21).

3. Заполняются матрицы, начиная с координаты далее и т.д. - , - .

Для рассматриваемого примера уравнения колебаний (5.11) и (5.12) в матричной форме будут иметь следующий вид

(5.13)

Матрица является диагональной, если отсутствуют инерционные связи между координатами. При наличии этих связей в матрице появятся элементы не стоящие на диагонали.

Матрица и являются пропорциональными если гидравлические гасители стоят параллельно каждому упругому элементу (пружине).

Отклонение любой из масс по своей координате вызывает появление упругих и диссипативных сил, препятствующих этому отклонению. Поэтому такая система является устойчивой. Кроме того, если задать начальной отклонение любой из масс, то колебательное движение будет затухающим из-за наличия гасителей. Поэтому в вертикальной плоскости колебания любого экипажа являются устойчивыми.

Функция рассеяния точки (ФРТ, point spread function, PSF)  - это функция, описывающая зависимость распределения освещенности от координат в плоскости изображения, если предмет - это cветящаяся точка/