Документ: 5520, страницы 56-60 | База учебных материалов

Материал: 5520

1.Ошибка указания времени часами со скачущей минутной стрелкой имеет равномерное распределение. Определить вероятность того, что при определении времени ошибка не будет превышать 20 секунд.

Смотрите также:

58

2. Для нахождения математического ожидания и дисперсии применим формулы (7.3). Получим следующие значения:

М(Х) =	0 6	3 ;	Д(Х) =	(6 0)2	= 3.
	2			12

3. Если пассажир подойдет к остановке не ранее чем через две минуты после ухода предыдущего троллейбуса, но не позднее чем за минуту до отхода следующего, то он будет ожидать троллейбус не менее минуты и не более четырех минут. По формуле (7.4) определяем вероятность того, что случайная величина Х примет значение в промежутке [1, 4]:

Р (1 Х 4) =	4 1	=	1	.
	6		2

Задача 3. Случайная величина подчинена показательному закону распределения с параметром . Найти вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее ее математического ожидания.

Решение. Для показательного распределения, согласно (7.7), М(Х)= 1 .

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале 0, 1 , определяем по формуле (7.8):

	1		0	1	1

Р (0 < Х <		) = e		-e = 1-		0,6 321.
Р (0 < Х <		) = e		-e = 1-	e	0,6 321.
					e

Задача 4. Функция распределения случайного времени безотказной

t

работы радиоаппаратуры имеет вид: для t<0 F(t)=0 и для t 0 F(t) = 1-е T . Найти: 1) плотность вероятности f(t); 2) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени Т.

Решение. 1. Для отыскания f(t) можно воспользоваться равенством

f(t)=F (t) или формулами (7.6) и (7.5) с		=	1	. Тогда
f(t)=F (t) или формулами (7.6) и (7.5) с		=	T	. Тогда
			T
0	при t			0,
f(t) = 1 е	T	при t 0.
	t

Т

2. Вероятность безотказной работы аппаратуры за время Т вычислим по формуле

Р (t T) = 1- Р (0			t < T).
Значение Р (0 t < T) находим по формуле (7.8)
1		0	1		T		1
Р (0 t < T) = e	T		e	T		1		.

							e
Следовательно, Р (t T) = 1-(1-е -1) = е –1			0,367 879.

Задача 5. Найти плотность распределения нормально распределенной случайной величины, если известны ее числовые характеристики: М(Х) = 4, (Х)= 3 . Построить график этого распределения.

59

Решение. Согласно (7.11)-(7.13) и условию задачи имеем, что а=4, = 3 . Плотность вероятности нормально распределенной случайной

величины имеет вид (7.9). Подставляя данные значения а и									в (7.9),
получим искомую плотность вероятности
		1			( x 4) 2
	f(х)=	1		e	6	.
	f(х)=	6		e	6	.
							1
Функция f(х) имеет максимум			при х=4,			равный f(4)=	1	0,23 033.

							6
							6
Абсциссы точек перегиба: х1= а-		и х2=а+ . В данном случае
							1
х1=4- 3 2,268 и х2=4+ 3 5,732; их ординаты: f(х1)=f(х2)=							1		0,1 397.


							6 e

График функции симметричен относительно прямой х=4, ось абсцисс является асимптотой.

y

1 6

1

6 e


4- 3 4 4+ 3				x

Задача 6. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, которая распределена по нормальному закону. Пусть ее математическое ожидание равно 176 см, а дисперсия – 25. Найти плотность распределения

60

вероятностей и функцию распределения этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что рост наугад выбранного мужчины будет находиться в пределах от 173 до 180 см.

Решение. По условию задачи а=176, = 25 =5. Поэтому согласно (7.9) плотность распределения вероятностей данной случайной величины такова:

																1					( x		176) 2
											f(х) =					1				e			50		.
											f(х) =					5 2				e			50		.

Найдем функцию распределения по формуле (7.10):
																1		x				(t	176) 2
									F(х) = 5							1		x		e			50			dt .
									F(х) = 5							2				e			50			dt .
									t	176
Введем подстановку z=									t	176			, тогда dt=5dz. При t															-	переменная z - ,
Введем подстановку z=										5			, тогда dt=5dz. При t															-	переменная z - ,
										5
при t=х переменная z=								x		176			. Получим
при t=х переменная z=													. Получим
							5
			x 176																	x 176
					z 2					0				z 2										z 2
	1	5			z 2		1			0				z 2			1		5					z 2			1			x 176
F(х)=	1			e 2		dz	1					e		2 dz			1						e 2 dz				1	Ф		x 176	.
F(х)=				e 2		dz						e		2 dz									e 2 dz				2	Ф	5		.
2							2									2			0								2		5
																			0
						0	z 2								z 2
						0	z 2			1					z 2				2
Здесь учтено, что						e	2 dz			1				e 2 dz					2				(интеграл Пуассона). Вычислим

										2									2
										2									2

по формуле (7.14) вероятность того, что выбранный наугад мужчина будет иметь рост от 173 до 180 см:

Задача 7. Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков d0=5 мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр – случайная величина, описываемая нормальным законом распределения со средним значением d0 и средним квадратическим отклонением =0,05. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на 0,1 мм. Определить, какой процент шариков будет отбраковываться.

Решение. Пусть Х – случайная величина, выражающая диаметр шарика. По условию задачи требуется определить в процентах Р X d0 0,1 .

Определим вероятность противоположного события, т.е. Р X d0 0,1 . Применяя формулу (7.15), получим

0,1

Р X 5 0,1 = 2Ф 0,05 = 2Ф(2).

По таблице (приложение 2 из [5]) находим Ф(2) 0,4 772. Тогда искомая вероятность равна

61

Р X 5 0,1= 1- Р X 5 0,1 1- 0,9 544 = 0,0 456.

Таким образом, при данном технологическом процессе около 4,6% шариков будут отбраковываться.

Задача 8. Средний процент выполнения плана определенной группой предприятий составляет 106%, среднее квадратическое отклонение =8%. Полагая, что процент выполнения плана этой группой предприятий подчиняется нормальному закону, определить, в каких границах следует ожидать процент выполнения плана этими предприятиями с вероятностью

0,95.
Решение.	Применим		формулу (7.15). Согласно условию		задачи

а=М(Х)=106,	=8, Р	X	106	=0,95. Неизвестную величину	находим

как решение трансцендентного уравнения

Ф= 0,475.

Спомощью таблицы (приложение 2 из [5]) определяем =1,96, откуда

=8 1,96=15,68. Итак, с вероятностью Р=0,95 можно ожидать, что процент выполнения плана данной группой предприятий будет находиться в границах от 90,32% до 121,68%.

За д а ч и

2.Служащий при поездке на работу тратит от 25 до 35 минут. Любое затраченное время на дорогу в этих пределах равновероятно. Определите теоретический вид случайной величины Х – требуемого служащему на дорогу времени. Запишите плотность и функцию распределения этой случайной величины и постройте их графики. Найдите математическое ожидание и дисперсию Х. Вычислите вероятность того, что дорога на работу займет у служащего от 28 до 32 минут.

3.Автобусы некоторого городского маршрута идут по расписанию с интервалом движения 20 минут. Пассажир подходит к остановке случайно в некоторый момент времени. Случайная величина Х – время ожидания пассажиром автобуса. Требуется определить вероятность того, что пассажир будет ожидать автобус менее 5 минут.

62

4.Функция распределения времени работы ЭВМ до первой неисправности имеет вид

F(t) =	0	при t T0 ,
	1 e	t T0	при t T0 .

При возникновении неисправности она мгновенно обнаруживается, и ЭВМ поступает в ремонт. Ремонт продолжается время Т0, после чего ЭВМ снова включается в работу. Найти плотность f(t) распределения промежутка времени Т между двумя соседними неисправностями. Найти его математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что Т будет больше 3Т0.

5.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром =2. Требуется: 1) записать плотность распределения этой случайной величины; 2) найти вероятность того, что случайная величина примет значение большее ее среднего квадратического отклонения.

6.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами М(Х) = -2 и (Х)=4. Найти плотность распределения случайной

величины Х и построить ее график.

7. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с

	1		x 5	2
плотностью вероятностей f(х)=					. Определить: 1)ее
		e 98



7	2

математическое ожидание и дисперсию; 2) вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение в интервале (-7; 5).

8.Известно, что длина деталей, изготовляемых автоматом, представляет собой величину, распределенную по нормальному закону, и имеет среднее значение 30 см и среднее квадратическое отклонение 0,3 см. Найти вероятность того, что длина наугад взятой детали будет заключена между 29,8 и 30,2 см.

9.Известно, что вес вылавливаемых в прудах совхоза сазанов подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, равным 600 г, и средним квадратическим отклонением 70 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого сазана будет:

1)не менее 400 г., 2) не более 800 г, 3) заключен в пределах от 500 до

700 г.

10.Распределение продавцов по выработке подчинено закону нормального распределения с математическим ожиданием 110% и средним квадратическим отклонением 5%. Определить вероятность того, что выполнение нормы выработки у наудачу выбранного продавца отклонится от ее математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 8%.

11.Известны следующие характеристики непрерывной случайной величины: М(Х)=170, Д(Х)=25. При этом выполняется равенство

Р(173<Х<180)=Ф

= Ф(0,8) – Ф(-0,6) =Ф(0,8) +Ф(0,6).

Из приложения 2 ([5]) находим Ф(0,8)

0,2 881, Ф(0,6) 0,2 257.

Окончательно имеем: Р(173<Х<180)