Материал: 5856
176
|
j |
|
(7.9) |
Pj ( t) ( t) |
|
j! exp( t) . |
|
Это – закон Пуассона, поэтому такой поток требований называется пуассо-
новским. Формула (7.8) является частным случаем (7.9) при j = 0.
Всистеме с потерями ситуация, когда общая активность абонентов превышает пропускную способность системы (число приборов обслуживания
N), называется блокировкой. В приведенном примере (рис. 7.6) при N = 10 вероятность блокировки равна 8,9∙10–5.
Всистеме с явными потерями заблокированные вызовы (получившие отказ при первой попытке) теряются, то есть абоненты не делают повторных попыток установить соединение, а направляют это сообщение другими, например обходными путями.
Вероятность блокировки в такой системе определяется по известной формуле Эрланга
B |
|
|
AN |
|
|
. |
|
N ! 1 A A2 |
2! A3 |
3! A4 |
4! ... AN |
N ! |
(7.10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 7.7 дана зависимость вероятности блокировки от нагрузки, поступающей на канал обслуживания, в системе с явными потерями. В связи с потерей некоторых требований нагрузка, обслуженная каждым прибором, несколько меньше поступающей нагрузки и равна
Ao / N (1 B)A/ N . |
(7.11) |
Хорошо видно, что при увеличении размеров системы и соответствующем возрастании нагрузки А и числа приборов обслуживания N эффективность использования приборов обслуживания Aо/N возрастает и приближается к единице при том же качестве обслуживания (при той же вероятности блокировки). Например, при В = 0,001 и N = 4 увеличение общей нагрузки в
0,1000 |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
0,0100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
0,0010 |
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N=128 |
|
|
0,0001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
A1,0/N |
Рис. 7.7. Вероятность блокировки в зависимости от нагрузки на канал обслуживания в системе с явными потерями
сети в 5 раз потребует лишь двукратного увеличения числа приборов обслуживания (с 4 до 8) за счет того, что нагрузка, которую обрабатывает каждый прибор, увеличивается примерно в 2,5 раза.
177
Очевидно, что объединение малых обслуживающих систем в большую систему позволяет повысить ее эффективность, то есть при использовании меньшего числа приборов обеспечить обслуживание той же нагрузки с той же вероятностью блокировки.
Плата за высокую эффективность большой системы – это ее повышенная чувствительность к перегрузкам, поскольку она имеет меньший запас по пропускной способности. Например, при той же вероятности блокировки В = 0,001 в малой системе при N = 4 увеличение нагрузки на 10% приведет к несущественному возрастанию величины В, в то время как в более крупной системе при N = 128 то же возрастание нагрузки увеличивает вероятность блокировки на порядок.
Более реалистический вариант системы с потерями – это система с повторными вызовами. Она анализируется при следующих предположениях.
1)Все заблокированные вызовы в очередь не ставятся, но абоненты делают многократные повторные попытки до тех пор, пока не получат обслуживания.
2)Каждая из повторных попыток проводится через случайный интервал времени после предыдущей, причем длительности всех интервалов взаимно независимы, а средняя длина каждого интервала превышает среднее время обслуживания абонента τ.
Для интенсивности поступления вызовов первой попытки мы уже использовали обозначение λ. Для вероятности блокировки в этой системе с по-
вторными вызовами используем обозначение Br.
Поскольку доля заблокированных вызовов равна Br, то вскоре произойдет Brλ повторных попыток, из них часть снова будет заблокирована и так далее. В итоге в состоянии статистического равновесия системы общая интенсивность поступления вызовов определяется как сумма убывающей геометрической прогрессии
|
B B2 B3 ... (1 B ) , |
(7.12) |
|||
r |
r |
r |
r |
r |
|
где Br – вероятность блокировки, рассчитанная для такой же системы с явными потерями, но при интенсивности нагрузки λr.
В этом уравнении две неизвестные величины Br и λr, поэтому его можно решить методом последовательных приближений по методике расчета системы с явными потерями (7.10): сначала для фактического значения λ по (7.10) находим первое приближение для Br и используем его для вычисления первого приближения для λr по формуле (7.12). Далее это значение λr подставляем в (7.10), находим второе приближение для Br и так далее.
Обычно вероятность блокировки невелика (В << 1), поэтому хорошая точность получается уже после первого приближения
r (1 B) , |
(7.13) |
откуда видно, что повторные вызовы не сильно увеличивают нагрузку, так как (1 B) 1. Итак, Br определяем из (7.10) с использованием (7.13). Кстати,
178
распространять это утверждение на очень большие системы следует с осторожностью, так как они весьма чувствительны даже к малым перегрузкам.
В системе с ожиданием избыточный трафик помещается в очередь и сохраняется до начала обслуживания. При анализе примем те же простые предположения: A < N; M >> N; длина очереди не ограничена; длительность обслуживания вызова подчиняется экспоненциальному закону распределения
(7.7).
Вероятность того, что вызов сталкивается с перегрузкой системы и, следовательно, помещается в очередь, также была определена Эрлангом
Pî ÷ |
|
NB |
|
, |
|
|
|
|
|
||||
N A(1 |
B) |
(7.14) |
||||
|
|
|
где В – вероятность блокировки в системе с явными потерями (7.10). Вероятность того, что вызов, оказавшийся в очереди, ждет начала об-
служивания не более времени t, равна
|
|
(N A)t |
|
|
||
Pî ÷ (tî ÷ |
t) exp |
|
|
, |
(7.15) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||
где τ – средняя длительность обслуживания (не ожидания), определенная в (7.7). Отсюда видно, что среднее время ожидания в очереди равно
î ÷ |
|
|
. |
|
|
|
|
||||
N A |
(7.16) |
||||
|
|
|
Обратите внимание, что в формулах (7.14) – (7.16) фигурирует не отношение A/N, а разность этих величин N–A. Чем больше эта разность, тем меньше вероятность того, что вызов не будет обслужен сразу и попадет в очередь, и тем меньше время ожидания в очереди, если он туда попал. Очевидно, что в крупной системе, при больших значениях A и N, легче обеспечить большое значение этой разности даже при очень высокой эффективности использования обслуживающих приборов ( A / N 1), нежели в малой системе.
Итак, приведенные соотношения количественно доказывают справедливость тех утверждений, которые были высказаны в конце разд. 7.2.
Вопросы для самоконтроля по главе 7
1.Дайте определения симплексного, дуплексного и полудуплексного каналов.
2.Дайте определения методов передачи с коммутацией каналов и коммутацией пакетов.
3.Перечислите условия, при которых возможно применение метода: коммутации каналов; коммутации пакетов.
4.Дайте сравнительную характеристику методов коммутации каналов и коммутации пакетов.
5.Охарактеризуйте дейтаграммный метод передачи в сети.
179
6.В чем различие физического и виртуального каналов?
7.Почему декадно-шаговые АТС морально устарели?
8.Что такое коммутация временных интервалов?
9.Как осуществляется коммутация в координатной АТС?
10.Каково назначение сети сигнализации?
11.Перечислите основные типы топологических структур сетей электросвязи и укажите, при каких условиях их целесообразно применять.
12.Какие числовые характеристики используются для описания активности абонента в системе массового обслуживания?
13.Дайте определение единиц, в которых измеряется величина трафика.
14.Почему в больших сетях электросвязи можно более эффективно использовать оборудование при том же качестве обслуживания?
15.Дайте определение средней интенсивности поступления вызовов от абонента.
16.При каких условиях поток требований на обслуживание можно назвать пуассоновским?
17.При каких условиях число обслуживающих приборов может быть много меньше числа абонентов в сети?
18.Дайте определения систем обслуживания с явными потерями и с повторными вызовами.
19.Что зависит от предельной длины очереди в системе массового обслуживания с ожиданием?
20.Приведите формулу для среднего времени ожидания в системе массового обслуживания.
21.При каких условиях в системе массового обслуживания с ожиданием можно обеспечить любую малую вероятность блокировки?
180
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В книге представлена лишь малая часть того огромного арсенала методов, который используется в современных системах обмена информацией. Да и сами методы очерчены схематично, на уровне основной идеи, почти без всяких тонкостей, хотя на практике они могут иметь большое значение. Главное, чтобы система обмена информацией воспринималась не просто как набор модуляторов, кодеров и прочих устройств, а как единое целое, функционирующее ради решения общей задачи. Если к этому добавить уверенность в том, что любое улучшение одних характеристик системы передачи информации обязательно нужно сопоставлять с необходимыми для этого затратами либо ухудшением других характеристик, то читатель вполне созрел для более глубокого изучения интересующих его вопросов.
Когда идет речь о каком-либо преобразовании сигналов в присутствии шума, помех, то можно смело считать, что вы не добрались до его сути, пока не получили ответы на следующие вопросы:
1)Что из себя представляет полезная часть сигнала на входе (символ, последовательность символов, непрерывную функцию и т.п.) и какие вероятностные характеристики известны?
2)Каков тип помех (аддитивные, мультипликативные или иные), воздействующих на полезный сигнал до и в процессе данного преобразования? Каковы для них законы распределения вероятностей и числовые характеристики?
3)Какова цель данного преобразования? Если это решающее устройство (демодулятор, декодер и т.п.), то перечислить и дать ясное определение каждому из решений, которые могут быть приняты этим устройством.
4)Какова цена каждой из возможных ошибок, которые могут быть допущены в процессе вынесения решений, либо искажений сигнала при его преобразовании?
5)Есть ли в известной литературе описания преобразований сигналов, совпадающих с данным преобразованием по пп. 1-4? Имеются ли сведения о том, что какое-то из этих преобразований является оптимальным?
Успехов в дальнейшем освоении экспоненциально расширяющегося набора средств, применяемых для передачи информации!