Материал: 9-16

9. Дозволені та заборонені переходи, їх особливості.

Заборонені та дозволені переходи визначаються ймовірністю переходу. Ймовірність індукованого переходу між рівнями E_m i E_n пропорційна квадрату матричного елемента |d_nm|² електричного дипольного моменту.

Якщо матричний елемент ненульовий, перехід між рівнями E_m i E_n є дозволеним, якщо d_nm = 0 – перехід є забороненим. Якщо d_nm = 0, то ймовірність переходу теж повинна дорівнювати нулю. Такі переходи називають забороненими в електродипольному наближенні. Проте умова d_nm = 0 не означає, що нижні переходи між рівнями E_m i E_n не відбуваються, оскільки визначається лише ймовірнісне наближення. Врахування взаємодії з магнітним полем та більш ретельний розрахунок взаємодії з електричним полем показує, що ймовірність переходу може не дорівнювати нулю навіть якщо d_nm = 0. У цьому разі перехід може відбутися, наприклад, у результаті взаємодії між магнітним полем хвилі й магнітним дипольним моментом атома. Отже, перехід, що заборонений наближенням електродипольної взаємодії, є дозволеним у наближенні магнiтодипольної взаємодії, i навпаки.

Належність переходу до заборонених або дозволених визначається правилами відбору. Для атомних рівнів, що характеризуються квантовими числами n, l i ml , правила відбору для дипольних переходів такі:

1. Зміна головного квантового числа може бути будь-якою: ∆n = 0, 1, 2, ...

2. Орбітальне квантове число l може змінюватися тільки на ±1: ∆l = ±1. Це правило, по суті, відображає закон збереження моменту кількості руху для системи електрон + фотон, оскільки момент кількості руху фотона дорівнює h.

3. Магнітне квантове число m_l може змінюватися тільки на 0 або ±1: ∆ m_l = 0; ±1. Аналогічні правила існують i для квантових чисел: L – сумарного орбітального квантового числа; S – сумарного спінового числа i J – повного моменту системи J = L + S.

Перехід буде дозволений, якщо виконуються всі правила відбору. Якщо переходи дозволені в дипольному наближенні, то для них A_mn має порядок величини 10⁸с⁻¹, у випадку релаксації зі збудженого стану визначається лише спонтанними випромінювальними переходами менше ніж 10⁸ с⁻¹, якщо є, наприклад, безвипромінювальні процеси спустошення рівня. Такі рівні з малим часом життя називаються лабiльними. Якщо переходи заборонені в дипольному наближенні, тобто d_nm = 0, це не означає, що вони взагалі не можуть відбутися. Крім електричного дипольного моменту i пов’язаного з ним дипольного випромінювання, атому можна приписати електричний квадрупольний (октупольний) або магнітний дипольний (квадрупольний) момент. Матричні елементи i відповідні ймовірності електричного квадрупольного i магнітного дипольного переходів приблизно у 10⁶ разів менші, ніж для електричного дипольного наближення (якщо тi та інші дозволені правилами відбору). Ймовірність октупольних переходів, тобто переходів зі зміною моменту третього порядку, ще менша. Збуджений енергетичний стан системи, для якого всі переходи до нижніх станів заборонені для електричних дипольних взаємодій, називається метастабільнім рівнем. Час життя атомів у цьому стані близько 10⁻³ с i більше.

10. Надайте визначення спектральної лінії, формфактора спектральної лінії, ширини спектральної лінії. Поясніть радіаційну або природну ширину спектральної лінії.

Ступінь i характер розширення енергетичних рівнів квантових систем найбільш чітко проявляється під час вивчення форми спектральних ліній, тобто характерних вузьких ліній випромінювання або поглинання, що відповідають певному випромінювальному квантовому переходу. Розподіл інтенсивності випромінювання I/I₀ (або поглинання) за частотою в межах даної лінії характеризується функцією g(ω), яка називається форм-фактором спектральної лінії, або просто формою лінії. Ця функція відповідає умовi нормування, тобто . Для характеристики відносної ширини спектральної лінії використовують поняття добротності спектральної лінії, яка чисельно дорівнює відношенню резонансної частоти ω₀, що характеризує максимум спектральної лінії, до її ширини ∆ω на рівні половинної інтенсивності; та поняття ширини лінії, що визначається інтервалом частот ∆ω біля центра лінії, на краях якого інтенсивність поглинання (або випромінювання) падає вдвічі порівняно з центром лінії.

Ширина лінії, що визначається спонтанним часом життя квантової частинки, називається радіаційною, або природною, шириною. Природна ширина лінії – це та межа, вужчою за яку не може бути спектральна лінія.

З природною шириною спектральної лінії пов’язане інше поняття квантової механіки – час життя квантової частинки на збудженому рівні. Кількість частинок, що спонтанно залишають збуджений енергетичний стан за інтервал часу dt.

Отже, чим більша ймовірність спонтанного переходу, тим більша природна ширина лінії, а оскільки A_nm ∼ ω³_nm, то в радіодіапазоні природна ширина лінії буде істотно меншою, ніж в оптичному діапазоні. В результаті отримуємо форму лінії випромінювання (поглинання), що задається розподілом Кошi, яке, у свою чергу, задається функцією Лоренца. Природна ширина лінії дуже мала, оскільки вона не пов’язана із зовнішніми взаємодіями. Штучно її зменшити неможливо. У більшості випадків реальна ширина лінії значно перевершує природну ширину γ >> ∆ω_np.

11. Надайте визначення спектральної лінії, формфактора спектральної лінії, ширини спектральної лінії. Поясніть доплеровську ширину спектральної лінії.

Ступінь i характер розширення енергетичних рівнів квантових систем найбільш чітко проявляється під час вивчення форми спектральних ліній, тобто характерних вузьких ліній випромінювання або поглинання, що відповідають певному випромінювальному квантовому переходу. Розподіл інтенсивності випромінювання I/I₀ (або поглинання) за частотою в межах даної лінії характеризується функцією g(ω), яка називається форм-фактором спектральної лінії, або просто формою лінії. Ця функція відповідає умовi нормування, тобто . Для характеристики відносної ширини спектральної лінії використовують поняття добротності спектральної лінії, яка чисельно дорівнює відношенню резонансної частоти ω₀, що характеризує максимум спектральної лінії, до її ширини ∆ω на рівні половинної інтенсивності; та поняття ширини лінії, що визначається інтервалом частот ∆ω біля центра лінії, на краях якого інтенсивність поглинання (або випромінювання) падає вдвічі порівняно з центром лінії.

Тепловий рух частинок у газi призводить до розширення лінії, пов’язаного з ефектом Доплера. Ефект Доплера визначається зміною частоти (довжини хвилі) коливань, що сприймається спостерігачем, завдяки взаємному руху спостерігача та джерела хвиль Частота випромiнювань збільшується, якщо джерело наближається до спостерігача, i зменшується, якщо він віддаляється від нього. Хаотичність теплового руху атомів i молекул у газi призводить до того, що замість однієї резонансної лінії з частотою ω0 приймач сприймає сукупність щільно розташованих ліній, обвідна яких дає спостережуваний контур спектральної лінії, як показано на рис. 2.10. Ширина цього спектра пропорційна ймовірний швидкості частинок у газi (тобто залежить від температури) i власній частоті переходу ω0.

12. Поясніть поняття однорідного та неоднорідного розширення, приведіть приклади відповідних механізмів, що приводять до них.

Розрізняють однорідне й неоднорідне розширення. Іншими словами, розширення називається однорідним, якщо лінії кожного окремого атома i системи в цілому розширюються однаково. До однорідного розширення відносять природне розширення, розширення за рахунок процесів релаксації, зокрема зіткнень, i т.д. Розширення називається неоднорідними, якщо резонансні частоти окремих атомів не збігаються i розподіляються в деякій смузі частот, приводячи до тривалого розширення лінії системи в цілому для істотно меншого розширення лінії окремих атомів. До неоднорiдного розширення відносять допплерівське розширення, розширення за рахунок неоднорiдностей середовища i т.д. Форма однорiдно розширених спектральних ліній зазвичай добре описується функцією Лоренца g_L(ω), а форма неоднорідно розширених ліній – функцією Гауса g_G(ω). Необхідно підкреслити, що в чистому вигляді спектральна лінія буде розширена однорiдно або неоднорідно у разі, коли переважає якийсь один механізм розширення. Нерідко загальне роз- ширення спектральної лінії визначається одночасно декількома механізмами. У цьому загальному випадку форма лінії визначається функціями g₁(ω) i g₂ (ω), що описують форму лінії для різних процесів

Ці переходи виникають унаслідок взаємодії квантової частинки з її оточенням. Механізм процесів цих взаємодій сильно залежить від виду конкретної системи. Це може бути взаємодія між іоном i решіткою кристала, зіткнення між молекулами газу або рідини i т.д. Результатом дії процесів релаксації є обмін енергій між підсистемою цих частинок i тепловими рухами у всій системі в цілому, що призводить до термодинамічної рівноваги між ними. Звичайний час встановлення рівноваги, час життя частинки на рівні, позначається T1 i називається довільним часом релаксації. Поздовжня релаксація відповідає руху вектора високочастотної намагніченості системи частинок уздовж напряму зовнішнього постійного магнітного поля.

13. Релєївське, комптонівське та комбінаційне розсіювання світла.

Розрізняють пружне та непружне розсіювання. При пружному розсіюванні світла зберігаються фазові співвідношення між хвилею що падає та хвилею що розсіюється, при непружкому - ні.

Розсіювання, при якому змінюються тільки поляризація та напрям поширення хвилі, а енергія фотона (довжина хвилі) залишається незмінною, називається релєївським розсіюванням. У рентгенівський області спектра i в області гамма-випромінювання імпульсом фотона знехтувати не можна i зміна енергії фотона буде визначатися ефектом "віддачі". В цьому разі для процесу (рис. 2.13) hω ~hω', а величина ∆hω = hω' − hω мала i залежить від кута розсіювання, тобто від кута між ₁ i ₂. Це можна пояснити тим, що в оптичному діапазоні імпульс фотона набагато менший за імпульс електрона та атома. Розсіювання, при якому спостерігається мала зміна енергії фотона (довжини хвилі), залежна від кута розсіювання, називається комптонiвським розсіюванням, або ефектом Компотна. За деяких умов атом може перейти із віртуального стану до кінцевого, який відрізняється від початкового стану. Такому процесу відповідає діаграма взаємодії (рис. 2.14). У цьому випадку випущений фотон буде відмітним не лише за поляризацією та напрямом поширення, але i за частотою. При цьому із закону збереження енергії маємо

hω' = hω − (E₁ − E₀).

Розсіювання світла із досить великою зміною енергії фотона (довжини хвилі), що не залежить для ізотропних середовищ від кута розсіювання, називається комбінаційним розсіюванням. При комбінаційному розсіюванні частоти розсіяного світла є комбінаціями (суми та різниці) частот коливань падаючої хвилі із частотами власних коливань розсіювальної системи. При комбінаційному розсіюванні можуть існувати два випадки:

• енергія початкового стану (зазвичай основного стану E₀) менша за енергію кінцевого (збудженого) стану. При цьому частота розсіяного фотона змащена в область менших частот на величину ∆ω = (E₁ − E₀)/h від частоти падаючого фотона. Такий зсув у бік менших частот називається стоковим зсувом;

• енергія початкового стану більша за енергію кінцевого стану. При цьому зсув частоти відбуватиметься в область великих частот на ту саму величину ∆ω = (E₁ − E₀)/h. Такий зсув називається антистоксовим зсувом. Інтенсивність антистоксових компонент розсiювання значною мірою визначатиметься заселеністю збудженого стану, тобто залежатиме від температури.

Оскільки в термодинамiчно-рiвноважних умовах заселеність збудженого стану менша від заселеності основного стану, то інтенсивність антистоксового розсіювання завжди менша від інтенсивності стоксового розсіювання

14. Двохфотонне поглинання, діаграма взаємодії.

Поглинаючи фотон hω₁, атом переходить у віртуальний стан E₁, у якому він може встигнути поглинути другий фотон hω₂. Якщо для суми енергій цих двох фотонів виконується правило частот Бора (hω₁ + hω₂) = E_m - E_n , то атом перейде із одного стаціонарного стану E_n до іншого E_m (рис. 2.17). Iмовiрнiсть двофотонних процесів пропорційна квадрату інтенсивності світла i зазвичай дуже мала. Розглянутi процеси розсіювання i двофотонного поглинання необхідно відрізняти від двоступеневих процесів, коли атом, поглинаючи фотон, спочатку переходить до дозволеного (реального, а не віртуального) стану, а потім, випускаючи або знову поглинаючи фотон, до іншого дозволеного стану. Ці процеси відповідають за люмінесценцію та двоступеневе поглинання відповідно.

15. Надайте визначення інверсійної населеності та поясніть термін негативної температури.

Інверсійна заселеність – число частинок на даному енергетичному рівні в 1см³ речовини, поділене на статистичну вагу рівня. Квантова система, у якій створена інверсійна заселеність між двома рівнями E₂ i E₁, здатна підсилювати електромагнітне випромінювання із частотою ω₂₁ = (E₂ − E₁)/h.

Найважливішою характеристикою нерівноважного стану є від’ємна температура. Це поняття може бути введене в рамках дворівневої системи

де N – повне число частинок на всіх енергетичних рівнях в 1см³ речовини; Z – статистична сума.

Особливості стану від’ємної температури:

• стани з від’ємною температурою мають більш високу енергію, ніж стан з T > 0;

• від’ємну температуру можна отримати лише для кінцевої кількості енергетичних рівнів. Це пов’язано з тим, що для створення від’ємної температури між парою рівнів необхідно затратити кінцеву енергію (якщо n → ∞, то E → ∞ для створення T < 0);

• поняття "температура середовища" i "від’ємна температура" істотно фізично розрізняються.

16. Надайте визначення коефіцієнта поглинання, коефіцієнта посилення та перетину поглинання. Закон Бугера – Ламберта, межі його застосування.

Коефіцієнт поглинання визначається з рівняння dI_ω = −K_ωI_ωdz, де K_ω – показник поглинання (коефіцієнт поглинання); при цьому Kω = 4π/λ*κ (κ – безрозмірний показник поглинання).

Для підсилення амплітуди хвилі, тобто для інверсії знака поглинання, необхідна інверсія рівноважної заселеності. Для створення інверсії заселеності необхідний додатковий зовнішній вплив. Незалежно від механізму створення інверсії цей зовнішній вплив повинен компенсувати процеси, спрямовані на відновлення термодинамічної рівноваги. Перешкоджати цим процесам можна тільки витрачаючи енергію (енергію накачування, що надходить від зовнішнього джерела).

Перетин поглинання пов’язаний з коефіцієнтом поглинання таким співвідношенням:

За звичайних умов при термодинамічній рівновазі розподіл заселеності атомних рівнів підпорядковуються закону Больцмана. Якщо частота переходу лежить в оптичному діапазоні довжин хвиль, де зазвичай виконується умова hν >> kT, то в рівноважному стані майже всі атоми перебувають на одному рівні. Тому, коли нижній рівень 1 є основним, коефіцієнт поглинання світла становить величину:

оскільки N₂ << N₁ ≈ N, де N = N₁ +N₂. Тому говорять, що величина σ₁₂ = kω/N характеризує здатність кожної із частинок поглинати електромагнітну енергію на частоті ω. Вона має розмірність площини i називається поперечним перерізом, або просто перетином поглинання.

Інтегрування рівняння dI_ω = −K_ωI_ωdz дає закон зміни інтенсивності електромагнітної хвилі, який називають законом Бугера - Ламберта:

I_ω (z) = I₀ e^{-kω z}