Материал: Larin_Anton_8383_cm_21_5

_МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра математического обеспечения и применения ЭВМ

отчет

по практической работе №5

по дисциплине «Вычислительная математика»

Тема: Метод Ньютона

Санкт-Петербург

2019

Цель работы.

Формирование практических навыков нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений методом Ньютона.

Основные теоретические положения.

В случае, когда известно хорошее начальное приближение решения уравнения , эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (касательных). Он состоит в построении итерационной последовательности , сходящейся к корню уравнения . Достаточные условия сходимости метода формулируются теоремой.

Теорема.

Пусть определена и дважды дифференцируема на причём , а производные сохраняют знак на отрезке . Тогда, исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно построить последовательность

сходящуюся к единственному на решению уравнения .

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию, представленную на рис. 1. Если через точку с координатами провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью OX будет очередным приближением корня уравнения .

Для оценки погрешности -го приближения корня предлагается пользоваться неравенством:

где – наибольшее значение модуля второй производной на отрезке – наименьшее значение модуля первой производной на отрезке .

Рисунок 1 − Геометрическая интерпретация метода Ньютона

Таким образом, если

то

Это означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро (имеет место квадратическая сходимость). Из указанного следует, что при необходимости нахождения корня с точностью ε итерационный процесс можно прекращать, когда

Рассмотрим один шаг итераций. Если на -м шаге очередное приближение не удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляются величины и следующие приближение корня . При выполнении условия остановки, описанного выше, величина принимается за приближенное значение корня , вычисленное с точностью .

Постановка задачи.

Используя подпрограммы-функции NEWTON и Round из файла methods.cpp (файл заголовков methods.h), найти корень уравнения с заданной точностью методом Ньютона, исследовать скорость сходимости и обусловленность метода. Порядок выполнения работы следующий:

1. Графически или аналитически отделить корень уравнения . Убедиться, что на найденном отрезке функция удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона.

2. Выбрать начальное приближение корня так, чтобы .

3. Оценить снизу величину , оценить сверху величину

4. По заданному выбрать значение для условия окончания итерационного процесса .

5. Составить подпрограммы-функции вычисления , предусмотрев округление их значений с заданной точностью .

6. Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения и содержащую обращение к подпрограммам F, F1, Round, NEWTON и индикацию результатов.

7. Провести вычисления по программе. Исследовать скорость сходимости метода и его чувствительность к ошибкам в исходных данных, сравнить скорости сходимости методов Ньютона, бисекции и хорд.

Выполнение работы.

Проанализируем функцию :

Отделим графическим методом корни уравнения, т.е. найдем отрезки [Left, Right], на которых функция удовлетворяет условиям теоремы Больцано-Коши. По графику на рис. 1 видно что корень принадлежит отрезку и функция на его концах принимает разные знаки.

Рисунок 1 – Локализация корня функции

Проверим, что на выбранном отрезке функция удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона:

• Функция дважды дифференцируема на

• 

• Производные сохраняют знак

Возьмем начальное приближение .

. Данное приближение соответствует условию теоремы.

Оценим величины :

,

.

Тогда

Проведем вычисление корня функций при помощи программы, приведенной в приложении А. Программа вычисляет корень уравнения методом Ньютона. На вход ей подаются следующие параметры: X – начальное приближение корня, eps – требуемая точность вычисления корня, delta – погрешность вычисления значений функции, a, b – отрезок , локализующий корень. В табл. 1 приведены расчеты корня при различных значениях eps, и представлены значения количества итераций.

Таблица 1 – Расчет корня методом Ньютона с варьированием значения eps

Имея экспериментальное значение скорость сходимости метода видим, что скорость сходимости метода хорд выше линейной. Действительно, согласно теории порядок сходимости метода равен , т.е. квадратичный.

Теперь, имея приближение корня, примем . С помощью данного приближения вычислим , и оценим с его помощью чувствительность метода к ошибкам в исходных данных. При будем считать, что задача хорошо обусловлена – хор., иначе пл. – плохо. Результаты эксперимента занесены в табл. 2. Теперь, имея значение количества итераций, необходимое для локализации корня, сравним метод Ньютона с методом бисекции и методом хорд. Из проведенного ранее исследования известно, что порядок сходимости метода бисекции и метода хорд линейны

Таблица 2 – Обусловленность задачи при различных и