Материал: ZADANIE_NA_KR_variant_5_skhema_4_25_1

(вариант 5, схема 4/25)

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Р а с с ч и т а е м ц е п ь , п о к а з а н н у ю н а р и с . 1. Ч и с л е н н ы е д а н н ы е д л я д а н н о й с х е м ы п р и в е д е н ы в т а б л . 1.

Рисунок 1

Т а б л и ц а 1

1. К л а с с и ч е с к и й м е т о д .

1.1. П у с т ь t = 0 - м о м е н т к о м м у т а ц и и .

1.2. Т о к в ы б и р а е м в к а ч е с т в е и с к о м о й п е р е м е н н о й , т .к . э т о т т о к п о д ч и н я е т с я з а к о н а м к о м м у т а ц и и .

1.3. Р а с с ч и т а е м т о к и д о к о м м у т а ц и и , т .е . п р и t ≤ - 0 .

Н а ч а л ь н ы е у с л о в и я н у л е в ы е . И с т о ч н и к и р а з о м к н у т ы . П о э т о м у :

1.4. И с п о л ь з у я з а к о н ы К и р х г о ф а , з а п и ш е м у р а в н е н и я д л я в р е м е н и п о с л е к о м м у т а ц и и t ≥ 0 :

П р и в е д е м д а н н у ю с и с т е м у к о д н о м у д и ф ф е р е н ц и а л ь н о м у у р а в н е н и ю , в к о т о р о м ф и г у р и р о в а л а б ы тол ь к о о д н а п е р е м е н н а я - , т а к к а к э т а п е р е м е н н а я н е и з м е н я е т с я в м о м е н т к о м м у т а ц и и , п о э т о м у п р и р е ш е н и и д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я в к а ч е с т в е н а ч а л ь н ы х у с л о в и й м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь и х з н а ч е н и я , к о т о р ы е о н и п р и н и м а ю т д о к о м м у т а ц и и . И с к л ю ч а я в с е п е р е м е н н ы е , к р о м е , п о л у ч и м т р е б у е м о е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е в т о р о г о п о р я д к а :

1.5. Рассчитаем новый установившийся режим цепи ( ):

1.6. Найдем начальные условия для искомой переменной и ее производной:

Согласно законам коммутации имеем:

После подстановки этих величин в систему по законам Кирхгофа, записанную для момента времени «сразу после коммутации», получим систему алгебраических уравнений относительно переменных:

Решая эту систему, определим недостающее начальное условие:

Одновременно найдем:

1.7. Подставим численные данные в уравнение (1.1) и решим его:

Решение неоднородного дифференциального уравнения (1.2) запишем как сумму частного решения и общего решения однородного уравнения:

(1.3)

Решение однородного уравнения, называемое свободным током, записывается следующим образом:

Где A – постоянная интегрирования; p – корень характеристического уравнения:

Решение (1.3) с учетом п.1.5. запишем следующим образом:

(1.4)

Продифференцируем это уравнение:

1.8. Вычислим постоянную интегрирования. Для этого запишем предыдущие два уравнения для времени «сразу после коммутации», подставив в них численные значения начальных условий:

Решая эту систему, найдем:

Подставим вычисленные величины в правую часть уравнения (1.4) и получим решение:

1.9. Расчет остальных токов и напряжений на реактивных элементах и построение графиков.

Подставим (1.5) в систему ур-ий по законам Кирхгофа после коммутации и найдем остальные токи и напряжения:

Данные расчетов сведены в табл. 2. На рис. 2/3 приведены соответствующие графики на временном интервале:

Таблица 2

Рисунок 2

Рисунок 3

Задачу можно было решить, не решая дифференциального уравнения (1.1).

Общее решение для тока может быть сразу представлено в виде:

Дифференциальное уравнение не решается. Корни характеристического уравнения определяются, используя матрицу контурных сопротивлений:

или матрицу узловых проводимостей. Источник напряжения закорочен.

Оба уравнения дают одно и тоже решение:

Затем можно записать:

Дальнейшее решение совпадает с рассмотренным ранее.

2. Операторный метод

Рассчитаем начальные условия:

Эти величины используются при написании уравнений цепи в операторной форме. Согласно законам Кирхгофа запишем следующую систему уравнений в операторной форме:

Подставим численные значения в данную систему и упростим:

Приведем систему к операторному уравнению относительно операторного тока «через катушку» и сравним с ранее полученным решением:

Где - полином числителя и - полином знаменателя.

Рассчитанные токи и совпадают с соответствующими токами, полученными по классическому методу.

Чтобы рассчитать ток будем использовать теорему разложения:

2.1.( ) Найдем корни из уравнения

2.2( ) Произведем дифференцирование:

2.3( ) Рассчитаем коэффициент для корня

Рассчитаем коэффициент для корня

Рассчитаем коэффициент для корня

2.4.( ) Используя теорему разложения получаем формулу для тока :

Эта формула совпадает с выражением для тока соответствующего от времени, полученным классическим методом. Токи в других ветвях и напряжения на реактивных элементах получают по аналогии.

Приведем систему к операторному уравнению относительно операторного тока и сравним с ранее полученным решением:

Отсюда:

Проверка:

2.1.( ) Найдем корни из уравнения

2.2( ) Произведем дифференцирование:

2.3( ) Рассчитаем коэффициент для корня

Рассчитаем коэффициент для корня

2.4.( ) Используя теорему разложения получаем формулу для тока :