Вероятно, более всего интуиционизм Брауэра приближается к теории субъекта Бадью в понятии свободно выбираемой последовательности или последовательности свободных выборов. Последовательность выборов является конструктивным объектом, служащим для концептуализации бесконечности, коль скоро отрицается актуальная бесконечность. Она представляет собой последовательность объектов, конструируемую на каждом шаге выбором следующего объекта. Последовательности выборов могут быть законосообразными, т.е. подчиняющимися какому-то закону, или свободными, т.е. продолжающимися произвольно, без какого-либо закона. Последние даже не обязаны быть определёнными прежде своего разворачивания: на некоторой произвольной стадии мы можем вмешаться и изменить закон этого разворачивания, если он вообще был. Не существует способа предсказать поведение свободной последовательности.
Важно заметить, что свободные последовательности, не имеющие закона, конструктивны в интуиционистском смысле, хотя и не могут быть описаны каким-либо алгоритмом, законом, языком. Для своего конструирования они существенным образом требуют субъекта, его произвольного выбора. Бадью в его критике конструктивизма в [2] не учитывает такого рода последовательности, что делает его оценку интуиционизма ограниченной.
Последовательности выборов могут составлять структуру, называемую потоком (spread). Интуитивно он представляет собой дерево, исходящее из одного корня, и определяется двумя законами - законом потока и дополнительным законом. Первый определяет допустимые для потока начальные сегменты последовательностей и должен удовлетворять трём условиям: 1) пустой сегмент допустим, 2) последовательности, чьи начальные сегменты недопустимы, также недопустимы, 3) каждый допустимый начальный сегмент допускает бесконечное расширение по крайней мере по одному пути потока. Дополнительный закон сопоставляет допустимым последовательностям произвольные математические объекты. Можно считать, что первый закон определяет структуру дерева, а второй -- математические объекты, навешанные на каждый узел этого дерева. Брауэровские последовательности представляют собой бесконечные пути в потоке. В частности, континуум определяется Брауэром как состоящий из вещественных чисел, каждое из которых представляет собой последовательность в потоке. Поэтому мы никогда не можем говорить о континууме как о законченном множестве; это становящееся множество, которое всегда может быть расширено.
Как эти разработки связаны с онтологией и теорией субъекта Бадью? Чтобы это понять, нам следует обратиться к исследованиям по формализации интуиционистской логики, в частности к работам А. Гейтинга и С. Крипке. Гейтинг предлагает формализацию этой логики, а Крипке разрабатывает для неё модель. Рассмотрим общую идею этой модели, опуская детали, которые можно найти в работе [7].
Модель представляет собой множество с определённым на нём первым элементом и отношением частичного порядка. Всё вместе это интерпретируется как дерево временных точек или «доказательных ситуаций» (evidential situations) [7. С. 97]. Это возможные миры, с каждым из которых ассоциировано по два множества предложений, считающихся имеющими значения истинности T и F. При этом последние должны пониматься интуиционистски: T означает наличие достаточной информации для доказательства соответствующего предложения A, а F - её отсутствие. В первом случае мы говорим, что A подтверждено (veryfied), во втором - что оно не подтверждено. Другими словами, F не следует путать с интуиционистской ложностью, для которой требуется, чтобы было подтверждено отрицание A. Она означает лишь отсутствие подтверждения A.
Корень определённого таким образом дерева обозначает «доказательную ситуацию» настоящего времени, само же дерево описывает возможные пути, которые мы можем пройти в поиске доказательств тех или иных положений (сходная интерпретация интуиционистской логики, так называемое исчисление задач, предложена А.Н. Колмогоровым). Крипке показывает, что эти пути описываются интуиционистской логикой. В частности, здесь не работает закон исключённого третьего: помимо истинности и ложности, имеется также ситуация «ещё не доказанности», когда мы не имеем достаточно информации, чтобы утверждать то или другое. Чтобы утверждать отрицание A, нам недостаточно знать, что A не подтверждено, нужно знать, что оно не может быть подтверждено ни в какое время, следующее за данным вдоль по дереву «доказательных ситуаций».
Построенная таким способом модель позволяет Крипке продемонстрировать два важных для нас обстоятельства. Прежде всего, он показывает, что она может быть переформулирована в терминах последо-вательностей выбора, тем самым устанавливая связь с интуиционизмом. А также, что для нас важнее, он интерпретирует данную модель в терминах форсинга [7. С. 118-120]. Оказывается, что коэновская процедура построения генерического множества и вынуждения истинности формул расширенной теории подчиняется не классической, а интуиционистской логике. Она может быть представлена в терминах свободных, т.е. не подчиняющихся никакому закону, последовательностей выборов. Таким образом, субъекты Брауэра и Бадью оказываются сходными по своей структуре. Тот и другой говорит о творящем субъекте, не подчинённом никакому закону и продвигающемся вперёд на свой страх и риск. Есть, однако, и существенная разница.
В обоих случаях речь идёт о субъекте конечном, но ориентирующемся на бесконечность. Однако, как мы видели, понимание бесконечности у Брауэра и Бадью существенно различаются. Это приводит к различию в теории субъекта. З. Фрезер формулирует его следующим образом: «существенное различие между интуиционистской последовательностью и процедурой истины Бадью [состоит в том, что] среда субъекта у Бадью не является его собственным творением» [8. С. 124]. Если брауэровская последовательность свободна и произвольна, то процедура истины у Бадью детерминируется событием - существующим, но не являющимся в ситуации множеством (или являющимся лишь в форме субъекта, благодаря ему и посредством него). Это делает возможной ту смесь формализма и интуиционизма, которую мы находим в теории субъекта Бадью и с которой Брауэр вряд ли бы согласился, поскольку не рассматривал исчисление Гейтинга как исчерпывающую формализацию интуиционизма. Последнее для Брауэра вообще невозможно, поскольку невозможно формализовать творческий процесс развития математики. В этом смысле можно, вероятно, сказать, что субъект Бадью представляет собой формализуемую часть субъекта Брауэра, причём верность событию связана с условием, благодаря которому формализация становится возможной.
В некотором смысле субъект Бадью более ограничен в своей свободе, и в этом отношении Бадью ближе к Хайдеггеру, тогда как Брауэр - скорее, к Канту. Даже если брауэровский субъект следует закону, это закон, который он, подобно кантовскому моральному субъекту, принимает на себя сам. Ситуация, правда, осложняется тем, что у Бадью налагаемый на субъекта закон не может быть сформулирован. Субъект, скорее, принимает обет верности тому, что само не может появиться в ситуации; по этой причине одним из парадигмальных примеров субъекта истины для него является апостол Павел [9]. Зависимость субъекта Бадью от события не сводится к зависимости от закона, будь то навязанного или свободно принятого, поскольку генерическая процедура принципиально не подчиняется никакому закону. Но в любом случае, «идеальный математик» Брауэра творит математику как среду своей деятельности, тогда как субъект истины Бадью верен свершившемуся событию и разворачивает его следствия.
Наконец, заметим, что связь теории субъекта Бадью с интуиционизмом позволяет нам понять, что бесконечность процедуры истины имеет характер не счётного множества, а брауэровского континуума. В этом смысле истину невозможно мыслить как завершенную, пусть и в бесконечном времени (даже Бог не в состоянии обладать всей истиной). С другой стороны, брауэровский никогда не завершаемый универсум есть то, что делает процедуру истины возможной.
Подведём итог. Бадью строит онтологию как формалист, опираясь на аксиоматику Цермело - Френкеля, и затем вводит событие и субъекта как то, что выходит за пределы онтологии. Последнее, однако, как показывают поздние формализации Гейтинга и Крипке, следует интуиционистской логике. В результате, в «Логиках миров» [3] Бадью уже явно опирается на алгебру Гейтинга и топологическую интерпретацию. Этого, как кажется, достаточно для построения теории субъекта. Мы видим в результате, что первый том «Бытия и события» распадается на две существенно независимые теории, одну из которых можно отнести к формализму (онтология), другую же - к интуиционизму (теория субъекта). При этом, как показывает пример Брауэра, возможно построение подобной теории субъекта без отсылок к аксиоматической теории множеств. Однако нельзя сказать, что первая из этих теорий Бадью не оказывает влияния на вторую. На аксиоматическую теорию множеств и её истолкование опирается онтология Бадью и, прежде всего, идея «многого без единого». От последнего же зависит идея события как множества, выходящего за пределы онтологии, но специфическим образом детерминирующего субъекта (это этическая детерминация верности и долга, а не естественной причинности; другими словами, речь здесь идёт, скорее, о причине желания в смысле Лакана). Событие, таким образом, не освобождает, как можно было бы подумать, субъекта от сущего-посколькуоно-сущее, а, напротив, налагает на него дополнительные, этические ограничения. Бадью демонстрирует, что эти ограничения не только не относятся к онтологии, но и не могут мыслиться по модели онтологической детерминации. Но, несмотря на это, описание такой детерминации возможно, и это, в конце концов, определяет ту смесь формализма и интуиционизма, которую мы находим в «Бытии и событии».
Литература
1. Dummett M. Elements of Intuitionism. Oxford: Clarendon Press, 1977.
2. Badiou A. L'кtre et l'йvйnement. P.: Seuil, 1988.
3. Badiou A. L'etre et l'йvйnement: T. 2, Logiques des mondes. P.: Seuil, 2006.
4. Коэн П. Теория множеств и континуум-гипотеза. М., 1969.
5. Brouwer L. Intuitionism and Formalism // Bulletin of the American Mathematical Society. 1913. Vol. 20. №.2. P. 81-96.
6. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. 556 с.
7. Kripke S. Semantical Analysis of Intuitionistic Logic I // Formal Systems and Recursive Functions (Proceedings of the Eighth Logic Colloquium at Oxford, July, 1963) / Ed. by J.N. Crossley, M.A.E. Dummett. Amsterdam: North Holland Publishing Co., 1963. P. 92-129.
8. Fraser Z. The Law of the Subject: Alain Badiou, Luitzen Brouwer and the Kripkean Analyses of Forcing and the Heyting Calculus // Cosmos and History: The Journal of Natural and Social Philosophy. 2006. Vol. 2. P. 94-133.
9. Бадью А. Апостол Павел. Обоснование универсализма / Пер. с фр. О. Головой. М.:
Московский философский фонд; СПб.: Университетская книга, 1999.