(2)
где p = p(t) - вектор обобщенных импульсов; H = H(p,q) - гамильтониан, или полная энергия неуправляемой (свободной) системы.
Предполагается, что в модели динамики системы выделены две подсистемы: вращающаяся и несущая, так что полная энергия представляется в виде:
,
где H1 - энергия вращающейся подсистемы, H2 - энергия несущей подсистемы, H12 - энергия взаимодействия.
Задачу прохождения через резонанс предлагается сформулировать как задачу синтеза закона изменения управляющего воздействия (алгоритма управления), обеспечивающего достижение целевого значения энергии вращающейся подсистемы при ограничении на энергию колебаний несущей подсистемы на резонансных частотах. При этом базовый алгоритм управления синтезируется из условия достижения цели управления, а ограничения учитываются путем модификации алгоритма.
Для синтеза базового алгоритма применяется метод скоростного градиента (Фрадков, 1979, 1986). Формализуем цель управления как приближение к поверхности заданного уровня энергии вращающейся подсистемы (это соответствует заданным средним значениям угловых скоростей):
при (3)
Если ввести целевую функцию
, (4)
то цель управления может быть переформулирована в виде
при . (5)
При выборе алгоритма скоростного градиента релейного типа в конечной форме, базовый алгоритм записывается в виде:
, (6)
где - коэффициент усиления - параметр алгоритма, - вектор угловых скоростей вращательного движения.
Предлагаемый подход к решению задачи основан на использовании эффекта разделения движений на быстрые и медленные составляющие, возникающего вблизи зоны резонанса. Возникновение медленных «маятниковых» движений вблизи зоны резонанса при малом относительном эксцентриситете отмечалось в работах А.И.Нейштадта, А.А.Первозванского и Л.М.Малинина, А.В.Печенева и других. Для выделения медленных движений в алгоритм управления вводится фильтр нижних частот. Например, если медленная составляющая возникает в колебаниях угловой скорости , то вместо (6) используется алгоритм управления
(7)
где ш - переменная фильтра, - постоянная времени фильтра. На основе алгоритма (7) разработаны алгоритмы прохождения через зону резонанса для перечисленных выше трех моделей.
Управление прохождением через резонанс упругого вала. Рассматривается задача управления изгибными колебаниями вращающегося вала с неуравновешенным диском (ротором) посередине (см. Рис. 1). Пренебрегая углами отклонения ротора от плоскости, перпендикулярной валу, получим дифференциальные уравнения, описывающие плоское движение центра масс и вращение ротора в виде
(8)
где ц- угол вращения ротора, x,y - декартовы координаты центра масс ротора, u= - управляющее воздействие (вращающий момент на валу двигателя), J - момент инерции неуравновешенного ротора (относительно центра масс), m - масса ротора, е - эксцентриситет центра масс ротора, c - жесткость вала на изгиб, - соответствующие коэффициенты демпфирования, - коэффициент вязкого трения в подшипнике.
Рис. 1. Схема вращающегося упругого вала с неуравновешенным ротором.
Цель управления соответствует обеспечению разгона дебалансного вибровозбудителя до скоростей, больших, чем критические резонансные, при ограничениях как на размах изгибных колебаний вала, так и на уровень управляющего сигнала , где . Предполагается, что измерению доступны все переменные состояния системы и требуется найти алгоритм управления в виде , где - вектор состояния объекта управления.
Вблизи зоны резонанса размах колебаний центра масс возрастает, и, как следует из результатов Л.М.Малинина и А.А.Первозванского, при малом относительном эксцентриситете движение центра масс разделяется на быструю и медленную составляющую, причем медленная составляющая описывается уравнением второго порядка где - усредненное отклонение от равновесного значения квадрата радиус-вектора центра масс . Дальнейшему увеличению скорости вращения ротора препятствует перетекание энергии вращения ротора в энергию колебательного движения центра масс. Для решения задачи предлагается увеличивать энергию вращательного движения путем увеличения энергии медленного движения. При этом для управления энергией медленного движения используется метод скоростного градиента с энергетической целевой функцией, а для подавления быстрых составляющих в алгоритм вводится фильтр нижних частот.
Предлагаемая модификация релейного алгоритма управления (7) имеет вид:
мехатроника вибрационный зона резонанса
(9)
где вспомогательная переменная оценивает средний квадрат амплитуды колебаний вала, постоянная времени фильтра для - параметр алгоритма. Из установленного свойства величины следует, что если система находится в зоне резонанса (не было зафиксировано значительное снижение ), то , в противном случае . Параметр алгоритма K<1 должен быть достаточно мал, чтобы можно было с уверенностью фиксировать прохождение зоны резонанса. Постоянная времени фильтра угловой скорости выбирается в промежутке между периодом резонансных колебаний и периодом медленных колебаний системы.
Проведено численное иccледование эффективности предложенного алгоритма при различных значениях параметров системы и алгоритма. При моделировании в программной среде MATLAB номинальные значения параметров объекта управления выбирались следующим образом: J = 0.014 кг·м2, m = 1.5 кг, е = 0.02 м, = 0.02 Дж·с, Н/м, кг/с. Результаты моделирования, приведенные на рис. 2 показывают, что применение разработанного алгоритма при номинальных параметрах объекта позволяет понизить необходимое значение управляющего момента электродвигателя в 1.35 раза. Было проведено численное исследование зависимости эффективности управления от параметров объекта и алгоритма управления. В каждой серии экспериментов определялись
Рис. 2. A) Прохождение зоны резонанса при постоянном управляющем воздействии: 1) - захват 2) - прохождение. B),C),D) - Прохождение зоны резонанса при использовании алгоритма управления (9), - прохождение.
минимальное значение постоянного вращающего момента двигателя , обеспечивающее прохождение зоны резонанса при , и минимальное значение вращающего момента двигателя , обеспечивающее прохождение зоны резонанса при использовании алгоритма управления (9). Постоянная времени фильтра угловой скорости варьировалась в диапазоне от 0.1 до 1.1 секунды. На рис.3 изображены графики зависимости величин M1, M2 от жесткости вала на кручение c, коэффициента сопротивления вращению , эксцентриситета е. Из графиков видно, что в зависимости от параметров системы, за счет применения алгоритма значение управляющего момента можно снизить в 3-8 раз.
Рис.3. Влияние жесткости вала c, коэффициента сопротивления вращению , эксцентриситета е на эффективность работы алгоритма управления.
Далее исследовалась робастность алгоритма при изменении жесткости вала на кручение c и при номинальных значениях остальных параметров объекта. Исследования показали, что выбор коэффициентов алгоритма с, позволяет достичь удовлетворительных результатов, описанных ранее. Показано, что алгоритм обладает значительной робастностью: при изменении жесткости с от 30 до 3000 H/м постоянное значение = 0.45 с обеспечивает эффективность алгоритма не меньше 65% от эффективности при подборе для каждого значения жесткости.
Управление прохождением через резонанс однороторной вибрационной установки (Рис. 4). Уравнения динамики системы имеют вид
(10)
где - угол поворота ротора, y - вертикальное отклонение центра масс платформы от положения равновесия, -управляющее воздействие (момент приводного электродвигателя), J - момент инерции несбалансированного ротора, m - масса ротора, M - масса платформы, - эксцентриситет центра масс ротора, - осевая жесткость пружин, - суммарное осевое демпфирование пружин, - коэффициент вязкого трения.
Рис. 4. Однороторная вибрационная установка
Вектор состояния системы имеет вид . Система имеет две степени свободы: одномерные колебания платформы и вращение ротора. При малых уровнях управляющего воздействия в околорезонансной области происходит «захват» угловой скорости ротора, а при увеличении управляющего момента ротор проходит зону резонанса и разгоняется до заданной угловой скорости.
В соответствии с базовым алгоритмом (7), был разработан алгоритм управления:
(11)
где
(12)
sgn [z] = 1 при z > 0, sgn [z] = 0 при z ? 0.
Результаты моделирования для номинальных параметров системы, соответствующих реальной вибрационной установке, разработанной в Санкт-Петербургском УНЦ «Проблемы механики, машиностроения и процессов управления», приведены на рис 5. Видно, что применение разработанного алгоритма позволяет понизить в 2.5 раза значение управляющего момента электродвигателя, необходимое для выхода в область рабочих скоростей.
Рис. 5. а) Прохождение зоны резонанса при постоянном управляющем воздействии . (1: - захват; 2: - прохождение); b),c),d) Прохождение зоны резонанса с алгоритмом (11), (12), .
Алгоритм управления прохождением через резонанс двухроторной вибрационной установки. В работе рассмотрена задача разгона и прохождения через зону резонанса для вибрационной установки с двумя вибровозбудителями, установленными на несущем теле, упруго соединенном с неподвижным основанием (Рис.6). Установка разработана в Санкт-Петербургском УНЦ «Проблемы механики, машиностроения и процессов управления» в рамках Федеральной целевой программы «Интеграция».
Рис. 6. Схема двухроторной вибрационной установки. 1- приводные электродвигатели; 2- блоки датчиков; 3- рама стенда; 4- роторы; 5- дебалансы; 6- вибрационный корпус; 7- пружинные виброизоляторы; 8- вилки вибровозбудителей; 9- карданные валы.
Пренебрегая динамикой угла поворота носителя (это возможно при достаточно высокой жесткости пружин), считаем, что носитель ориентирован горизонтально и совершает плоско-параллельное движение в вертикальной плоскости (см. рис. 7):
Рис.7. Расчетная схема двухроторной вибрационной установки с горизонтальной ориентацией носителя
Уравнения динамики системы имеют вид:
(13)
где - углы поворота роторов, x, y - горизонтальное и вертикальное отклонения центра масс носителя от положения равновесия, - управляющие воздействия (вращающие моменты двигателей), J - момент инерции несбалансированных роторов, m - масса ротора, M - масса носителя, - эксцентриситеты центров масс роторов, - жесткость пружин по вертикальной и горизонтальной осям, соответственно, - коэффициенты демпфирования, - коэффициент вязкого трения.
В работе предложен алгоритм управления , где - вектор состояния системы для разгона неуравновешенных роторов до прохождения зоны резонанса. Предполагается, что уровень управляющего воздействия ограничен и не позволяет пройти зону резонанса при постоянном воздействии. Синтезированный алгоритм прохождения через резонансные частоты имеет вид:
(14)
где
(15)
sgn [z] = 1 при z > 0, sgn [z] = 0 при z ? 0.
Эффективность предложенного алгоритма исследовалась в среде MATLAB. Расчеты проводились для базовых параметров системы J = 0.014 [кг·м2], m = 1.5 [кг], M=9 [кг], с = 0.04 [м], = 0.01 [Дж·с], [кг/с], [Н/м], [Н/м]. При этом наименьшее постоянное управляющее воздействие, обеспечивающее прохождение через зону резонанса, равняется 0.66 Н·м (см. рис.8a).
Результаты моделирования показали, что минимальное значение управляющего момента , обеспечивающее прохождение зоны резонанса, равно = 0.42 [Н·м] с точностью 0.01 [Н·м], см. Рис. 8b. По сравнению с постоянным управляющим воздействием, предложенный алгоритм позволяет уменьшить уровень управляющего воздействия в 1.5 раза. Показано, что значение слабо зависит от выбора в пределах от 0.2 [c] до 0.6 [c].
Рис. 8. а) Динамика системы при постоянном управляющем воздействии, , = 0.65 [Н·м] (внутренние кривые, «захват») и = 0.66 [Н·м] (внешние кривые, прохождение). b),c),d) Прохождение через резонанс с алгоритмом (14), = 0.45 [Н·м], = 0.55 [с].
Далее было исследовано поведение системы при несимметричных начальных условиях. Показано, что асимметрия начальных условий слабо влияет на динамику процесса.
Таким образом, применение разработанного алгоритма управления позволяет почти в два раза снизить величину управляющего момента, требуемого для прохождения зоны резонанса. Для повышения эффективности алгоритма управления достаточно изменять единственный настроечный параметр . Алгоритм обладает низкой чувствительностью к нарушению симметрии начальных условий.