Материал: АНАЛІТИЧНІ МЕТОДИ МАТЕМАТИЧНОГО ОПИСУ ТЕПЛО-МАСООБМІННИХ ПРОЦЕСІВ

Лекція 12. Аналітичні методи математичного опису тепло-масообмінних процесів Контрольні питання:

12.1. Проведіть аналіз систем рівнянь переносу кількості руху, енергії і маси, за якими здійснюють аналітичний опис технологічних процесів.

У загальному випадку при математичному описі технологічних процесів становлять рівняння переносу, збереження кількості руху, маси і енергії, визначають геометричні та фізичні характеристики системи, граничні та початкові умови. Звичайне число величин, що підлягають визначенню, більше числа рівнянь зв'язку між змінними. Тому частину величин варто задавати. Для фізичних систем при математичному описі в граничні умови часто включають і умови рівноваги. Всі фізико-хімічні процеси в машинах та апаратах, де є потоки рідин або газів, в узагальненому виді можна описати системами рівнянь переносу кількості руху, енергії і маси

де ω — проекції швидкостей на координати х, у, z; P — тиск; Δ2 — оператор Лапласа; t — температура; сі — концентрація і-го компонента; ρ — густина речовини; rіv — теплота фазового перетворення i-го компонента при постійному об'ємі; СP — теплоємність речовини при постійному тиску; q — потік теплоти; a, ν, Di — відповідно коефіцієнти температуропровідності, в'язкості і дифузії i-ro компонента суміші; X — проекція масової сили на вісь х. Наведені рівняння описують баланс кількості руху, поля температур і концентрацій у середовищі, що рухається.

12.2. Що є характеристичні функції і їх роль в математичному моделюванні фізико-хімічних об’єктів?

Характеристичними функціями (характеристиками, що обчислюються) системи, що визначають її стан, вважають внутрішню енергію U, ентальпію Н і енергію Гіббса G. Кожна з цих функцій виражається через незалежні змінні (параметри) системи. Для внутрішньої енергії незалежними параметрами є ентропія S і об'єм V, для ентальпії — ентропія S і тиск Р, для енергії Гіббса — температура Т і тиск Р.

12.3. Що називають хімічними потенціалами компонентів технологічної системи?

Частинні похідні характеристичних функцій по числах молів компонентів Ni при інших постійних параметрах стану називають хімічними потенціалами цих компонентів

де Ni — число молів i-го компонента.

12.4. Охарактеризуйте задачу оцінки структури моделі.

Задача оцінки структури моделі зводиться до визначення на виході з апарата кривої зміни концентрації речовини в часі після нанесення збурювання по потоці на вході. Збурювальною дією може бути введення в апарат разом із поступаючим потоком не реагуючого із середовищем індикатора (трасера). У якості трасерів використовують інертні гази, солі, радіоактивні ізотопи і т.п.

12.5. Яким чином здійснюють оцінку структури потоку і його моделі за східчастим та імпульсним збурюванням?

1. При східчастому збурюванні змінюють східчасту вхідну величину до нового значення й одержують так звану вихідну F-криву.

2. При імпульсному збурюванні, миттєво змінюючи вхідну величину, одержують так звану вихідну С-криву.

При стандартному дослідному сигналі на вході, графічне зображення Fкривої і С-кривої звичайно представляють у безрозмірних координатах. Для цього концентрацію із трасера в потоці на виході відносять до його початкової концентрації й по осі ординат відкладають значення Fkp = 0 c/c0 . Вісь абсцис представляє безрозмірний час Θ= c /c , де τ — реальний час, а τс = c V/c — середній час перебування часток у потоці апарата. Показник Fкр у потоці на виході змінюється від 0 до 1. F-крива є часовою характеристикою об'єкта і її вид визначається структурою потоку в апараті. При імпульсній подачі індикатора на вхід, на виході знімається С-крива (імпульсна характеристика). Зв'язок між імпульсними характеристиками, представленими в безрозмірному і натуральному часі, визначається співвідношенням С (Θ) = τсС(τ). Вид С-кривої визначається структурою потоку в апараті.

12.6. Наведіть три підходи при розгляді реальних технологічних процесів для задач їх моделювання.

При розгляді реальних технологічних процесів необхідно враховувати всі три підходи до моделювання: детермінований, імовірнісний і чисто випадковий. У багатьох випадках обмежуються тільки розглядом детермінованої частини процесу, коли імовірнісна та чисто випадкова частина незначні.

12.7. Поясніть, як можна скласти модель для визначення кінцевих температур теплоносіїв, якщо допустити, що зміни температур теплоносіїв по довжині теплообмінника лінійні, а витрати теплоносіїв, коефіцієнти тепловіддачі і теплоємності постійні.

Якщо допустити, що зміни температур теплоносіїв по довжині теплообмінника лінійні, а витрати теплоносіїв, коефіцієнти тепловіддачі і теплоємності постійні, можна скласти модель для визначення кінцевих температур теплоносіїв. Процес теплообміну в цьому випадку опишеться системою диференціальних рівнянь

12.8. Які спрощення приймають при складанні диференціальних рівнянь в частинних похідних, що описують процес теплообміну між двома рідинами, розділеними стінкою?

Диференціальні рівняння в частинних похідних у загальному випадку мають незліченну множину рішень. Тому якщо фізичний процес описується рівняннями в частинних похідних, то для однозначної характеристики цього процесу необхідно приєднати початкові та граничні умови. Для теплообмінника з розділяючою стінкою розподіл температур гарячого і холодного теплоносіїв по довжині при сталому режимі буде мати вигляд

Спрощений математичний опис такого теплообмінника складено при наступних допущеннях: у поперечному перерізі труб температури обох теплоносіїв постійні (усереднені) і змінюються тільки по довжині теплообмінника; вплив розшаровування не враховується, розглядається тільки змушена конвекція; кількість теплоти, що проходить у напрямку потоку, у рідині і стінці труби, не враховується; ефекти випромінювання та теплопровідності в радіальному напрямку враховуються в загальних коефіцієнтах тепловіддачі; теплоємність і густина обох теплоносіїв постійні; форма та переріз потоків незмінні; коефіцієнти тепловіддачі є функціями температури і швидкості для даних апаратів; втрати в навколишнє середовище і механічну енергію потоку не враховуються.

12.9. Охарактеризуйте модель теплообмінника «труба в трубі».

Теплообмінник «труба в трубі» описується наступними трьома рівняннями:

12.10. Проведіть аналіз чисельних методів рішення диференціальних рівнянь, що описують динаміку теплообмінників.

Для наближеного рішення таких систем рівнянь широко застосовують ЕОМ. Для цього найбільш простим чисельним рішенням звичайних диференціальних рівнянь є метод Ейлера, що випливає зі змісту похідної. Нехай рівняння має вигляд:

Оскільки більшу помилку допускають при формулюванні задачі (як і у нашому випадку), чим при її математичному рішенні, чисельні методи досить точні для рішення технічних задач.

12.11. Який характер має розподіл температур гарячого і холодного теплоносіїв по довжині при сталому режимі для теплообмінника з розділяючою стінкою?

В основу моделі потрібно покласти опис зміни температур обох теплоносіїв у часі і просторі, тобто по довжині теплообмінника.

Якщо скласти диференціальні рівняння в частинних похідних, що описують процес теплообміну між двома рідинами, розділеними стінкою, то ці рівняння будуть дуже складними. Спрощений математичний опис такого теплообмінника складено при наступних допущеннях: у поперечному перерізі труб температури обох теплоносіїв постійні (усереднені) і змінюються тільки по довжині теплообмінника; вплив розшаровування не враховується, розглядається тільки змушена конвекція; кількість теплоти, що проходить у напрямку потоку, у рідині і стінці труби, не враховується; ефекти випромінювання та теплопровідності в радіальному напрямку враховуються в загальних коефіцієнтах тепловіддачі; теплоємність і густина обох теплоносіїв постійні; форма та переріз потоків незмінні; коефіцієнти тепловіддачі є функціями температури і швидкості для даних апаратів; втрати в навколишнє середовище і механічну енергію потоку не враховуються.

12.12. Як змінюється температура теплоносіїв у часі і по довжині теплообмінника при прямотоці?

12.13. Поясніть параметричну схему випарного апарата.

Основними елементами є камера, що гріє, простір з киплячою рідиною і простір вторинної пари, а допоміжними - патрубками для підведення та відводу робітничих середовищ конденсату, первинної пари і неконденсуючих газів, сепаратори й пастки для відділення піни і крапель рідини від вторинної пари та ін. Незалежно від конструкції та призначення, кожен випарний апарат характеризується наступними вхідними параметрами: витратою рідини, що випарюється, SН та її первісною концентрацією bн , теплоємністю сн і густиною ρн , витратою пари, що гріє, Dп і її температурою tп або 17 ентальпією іп , теплоємністю сп, густиною ρп. Ці параметри, що характеризують вхідні потоки, можуть бути керуючими. Процес випарювання визначається й конструктивними параметрами: масою металу корпуса GМ, площею поверхні нагрівання F, об'ємом апарата V, масою ізоляції G (рис. 12.3 ).

Вихідними параметрами є витрата концентрованого розчину SK і його концентрації bk , густина ρk та теплоємність сk, рівень киплячої рідини h, витрата конденсату DK і її температура tk , витрата вторинної пари W і витрата пари на відвід газів, що не конденсують, D'. Внутрішніми параметрами можуть бути маса пари в апараті або в камері, що гріє, Gп, маса конденсату Gк, температура киплячої рідини tж , внутрішня енергія рідини або окремих частин апарата и, їхньої температури t, тиск в апараті та ін.

12.14.Здійсніть аналіз математичних моделей процесу випарювання.

Моделювання процесу випарювання в харчових виробництвах має особливості, зв'язані із властивостями розчинів, що випарюються. Наприклад, при випарюванні дифузійного соку цукрового виробництва у вторинній парі є інертні гази, що складаються в основному з вуглекислого газу, аміаку та всіх компонентів повітря, що помітно впливають на технологічні режими процесу випарювання.

Для складання такого типу моделей випарний апарат розділяють на гріючу камеру, поверхню нагрівання і парорідинний простір. Потім розглядають динамічні властивості цих елементів. Оскільки перехідні процеси відбуваються в часі, тоді найбільш зручною формою запису є 20 диференціальні рівняння. Наближене значення рівняння матеріального балансу для гріючої камери, у диференціальній формі має вигляд

де GH, GK — маса пари й конденсату в гріючій камері; Dп, Dк, Dн — витрати гріючої пари, конденсату і пари, що витрачається на відвід газів, що не конденсуються. Внутрішня енергія и випарної установки приблизно визначається рівнянням

де Мп, Мс , Мі — маса пари, стінок і ізоляції; ип — внутрішня енергія пари; ск, сс , си, t, tc , tu, — відповідно, теплоємність і температури конденсату, стінок й ізоляції.

12.15. Наведіть систему диференціальних рівнянь, що описує перехідні процеси в одноступінчастому випарному апараті.

Система диференціальних рівнянь, що описує сталі і перехідні процеси в одноступінчастому випарному апараті: