УДК 539.3

АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ УГЛЕПЛАСТИКОВЫХ БАЛОК

Е.В. Амелина, spin-код: 8814-0913, e-mail: amelina.evgenia@gmail.com

С.К. Голушко², spin-код: 8826-8439, e-mail: s.k.golushko@gmail.com

С.В. Идимешев, spin-код: 3793-6120, e-mail: idimeshev@gmail.com

Ю.В. Немировский, e-mail: nemirov@itam.nsc.ru

А.В. Юрченко, spin-код: 6840-1232, e-mail: andrey.yurchenko@gmail.com

Аннотация

балка растяжение углепластик аппроксимация

Предложен подход к расчету многослойных конструкций из разносопротивляющихся растяжению и сжатию композиционных материалов. Приведены экспериментальные диаграммы деформирования углепластиков и их линейные и нелинейные аппроксимации. Получено численное решение задачи трехточечного изгиба углепластиковой балки, проведено сравнение с экспериментальными данными, показавшее удовлетворительное совпадение результатов.

Ключевые слова: углепластиковые балки, трехточечный изгиб, разносопротивляемость, нелинейное деформирование.

Экспериментальные диаграммы деформирования углепластиков и их аппроксимации

Экспериментальные диаграммы растяжения и сжатия продольно и поперечно армированных углепластиков ВКУ-28, полученные в ходе выполнения проекта РФФИ № 13-01-12032 офи_м, обработанные с целью удаления артефактов измерений, приведены на рис. 1 и 2. Для аппроксимации использованы одно- и двупараметрические аналитические зависимости вида: , . Для нахождения коэффициентов аппроксимации решена задача поиска глобального минимума функции среднеквадратичного отклонения экспериментальных данных от выбранного вида аппроксимации. Для данных целей использован программный комплекс OPTCON [1] Результаты аппроксимации также приведены на рис. 1 и 2.

В экспериментах по растяжению (рис. 1а) продольно армированного углепластика наблюдаются эффекты упрочнения, что свидетельствует о нелинейности поведения материала. Даже на малом участке деформирования, для которого удалось получить экспериментальные кривые, видна нелинейность поведения материала.

Для получения аналитических зависимостей использовались имеющиеся участки, а далее кривые строились согласно полученным аналитическим функциям аппроксимации. На рис. 3 приведено сравнение диаграмм растяжения и сжатия, позволяющее оценить степень нелинейности и разносопротивляемости материалов.

Задача трехточечного изгиба углепластиковой балки

Рассматривается прямоугольный образец из армированного углепластика с сечением , расположенный на опорах с пролетом l и находящийся под действием сосредоточенной нагрузки в центре образца. На рис. 4 приведена схема трехточечного изгиба балки прямоугольного сечения.

Рис. 4. Схема трехточечного изгиба балки прямоугольного сечения

При данном виде нагружения и закрепления образца со стороны приложения нагрузки возникают деформации сжатия в продольном направлении, а на противоположной стороне образца - деформации растяжения. Если материал образца имеет разное сопротивление растяжению и сжатию, что типично для большинства полимеров, то при создании модели испытания возникает необходимость учета этой особенности.

Полагаем нагрузку P и возникающие реакции опор R_A и R_B сосредоточенными. Вследствие очень малых скоростей деформирования, состояние равновесия достаточно точно описывает изгиб балки в рассматриваемой задаче. Напряженно-деформированное состояние (НДС) балки характеризуется величинами: обозначающими перерезывающую силу, изгибающий момент и продольное усилие; u(x), w(x) - продольное перемещение и прогиб, где x - координата, отсчитываемая от левой опоры.

Соответствующие уравнения равновесия имеют вид:

Реакции опор определяются соотношением .

Решение системы (1) для безмоментного опирания в крайних точках:

При использовании кинематических гипотез Кирхгофа-Лява [2] распределение деформаций по толщине балки примет вид:

Рассматриваемый вид нагружения приводит к появлению в балке деформаций сжатия и растяжения, границу раздела которых обозначим . В области сечения деформации будут положительные, а в области - отрицательные.

Физические соотношения для материала образца запишем в виде:

где верхний индекс “+” соответствует соотношениям для области с положительными деформациями, “-” - области с отрицательными деформациями, а f(е) - в общем случае нелинейная функция. На границе этих состояний деформации е равны нулю, поэтому сама граница определяется соотношениями:

Продольное усилие N и изгибающий момент M в сечении стержня определяются равенствами:

Подставляя в (6) соотношения (4) для соответствующих случаев растяжения или сжатия и интегрируя, получим выражения для N и M, которые позволят определить величины и . Из уравнения (3) для прогиба находится его величина. Таким образом, все необходимые функции для описания НДС определены.

Разрешающую систему уравнения для нахождения параметров и в случае использования квадратичной аппроксимации можно свести к полиномиальному уравнению 8 степени. Для вычисления корней уравнения использовался алгоритм Лаггера. Из восьми вычисленных корней для каждого x, в общем случае комплексных, необходимо отобрать один, используя естественные физические и математические ограничения, такие, как попадание в заданный интервал действительной оси, близость к значениям, определенным в соседних точках, и “физичность” полученного в итоге решения. Решение ОДУ относительно прогиба (3) было получено методом дискретной ортогонализации, реализованном в пакете прикладных программ GMDO [3].

Рассматривался трехточечных изгиб продольно и поперечно армированных прямоугольных образцов из углепластика с базой . Параметры продольно армированного образца: , поперечно армированного: , .

На рис. 5 приведен вид нейтральной поверхности для некоторых значений , а на рис. 6 зависимость прогиб-нагрузка .

Влияние нелинейности заметно как для продольно, так и для поперечно армированного углепластиков и составляет от 5% до 10%. Разносопротивляемость больше выражена для поперечно армированного материала. Это связано с тем, что нагрузку воспринимает в основном матрица, для которой данный эффект выражен сильнее.

В целом проведенные исследования показывают хорошее совпадение численных решений с экспериментальными данными, что свидетельствует как о корректности предложенной расчетной схемы, так и о возможности интерполяции диаграмм деформирования на более протяженный отрезок.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №13-01-12032 офи_м_2013).

Библиографический список

1. Горнов А.Ю. Вычислительные технологии решения задач оптимального управления. Новосибирск: Наука, 2009.

2. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1951.

3. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко А.В. О двух численных методах решения многоточечных нелинейных краевых задач // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7, № 2. C. 24-33.