Материал: Дискретная математика. учебное пособие. Собенина О.В

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Путем в графе G называется такая последовательность дуг, в которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом следующей. Для неорграфа такая последовательность ребер называется цепью. Если путь (цепь) проходит через вершины х₁, ..., х_k, то будем обозначать его (ее) символом [x₁, …, x_k].

Для графа на рис. 4.1 последовательность дуг (x₁, x₂), (x₂, x₄), (x₄, x₃) является путем и может быть обозначена следующим образом [x₁, x₂, x₄, x₃]. Для графа на рис. 4.2 цепью является, например, следующая последовательность ребер (x₂, x₃), (x₃, x₅), (x₅, x₄), которую обозначим через [x₂, x₃, x₅, x₄].

Путь (цепь), у которого(-ой) начальная и конечная вершина совпадают, называется контуром (циклом). Для графа на рис. 4.2 циклом является, например, следующая цепь [x₂, x₃, x₅, x₁, x₂].

Простым циклом графа называется цикл, в котором все вершины различны за исключением начальной и конечной вершины, которые совпадают. Например, для графа на рис. 4.2 цикл [x₂, x₃, x₅, x₁, x₂] является простым, а цикл [x₂, x₃, x₄, x₅, x₃, x₁, x₂] не является простым.

Петлей называется дуга, начальная и конечная вершины которой совпадают.

Граф, полученный из орграфа заменой каждой дуги на ребро, называется основанием орграфа.

Пример. На рис. 4.3.б изображен граф, который является основание графа, изображенного на рис. 4.3.а.

Две вершины х_i и х_j называются смежными, если существует соединяющее их ребро (дуга) (х_i, x_j), при этом вершины называются инцидентными этому ребру (дуге), а ребро (дуга) – инцидентным(-ой) этим вершинам. Аналогично, два различных ребра (дуги) называются смежными, если они имеют по крайней мере одну общую вершину.

а б

Рис. 4.3

Вершины х₁ и х₄ смежны (рис. 4.3), дуга (х₁, х₄) инцидентна вершинам х₁ и х₄, а вершины х₁ и х₄ инцидентны дуге (х₁, х₄). Ребра (х₁, х₃) и (х₃, х₄) смежны (рис. 4.2).

Замечание. Смежность есть отношение между однородными элементами графа, тогда как инцидентность является отношением между разнородными элементами.

Множество всех вершин графа G, смежных с некоторой вершиной x, называется окружением вершины x и обозначается через N_G(x) или просто N(x).

В неориентированном графе число ребер, инцидентных данной вершине х_i, называется степенью (валентностью) вершины х_i и обозначается d(х_i). Вершина графа, имеющая степень 0, называется изолированной, а вершина, имеющая степень 1 – висячей. Для неорграфа на рис. 4.2 d(х₁)=3, d(х₃)=4.

Число дуг, исходящих из вершины х_i ориентированного графа, называется полустепенью исхода вершины х_i и обозначается . Число дуг, заходящих в вершину х_i ориентированного графа, называется полустепенью захода вершины х_i и обозначается . Так, для орграфа, представленного на рис. 4.3.а) , .

Утверждение (лемма о рукопожатиях). Сумма степеней вершин графа G равна 2m, где m – число ребер графа G.

Доказательство. Поскольку каждое ребро инцидентно двум вершинам, то оно добавляет двойку к сумме степеней графа G. Следовательно, все ребра дают вместе сумму степеней 2m.

Подграфом графа G=(X,V) называется граф G'=(X',V'), для которого X'X, V'V, причем ребро (x_i, x_j) содержится в V' только в том случае, если x_i и x_j содержатся в X'. Одним из подграфов графа на рис. 4.1 является следующий (рис. 4.4)

Если все вершины графа G=(X,V) присутствуют в подграфе G'=(X',V'), тогда G' называется остовным подграфом, т. е. X'=Х, V'V.

Пусть X' – подмножество вершин Х графа G=(X,V). Тогда граф G'=(X',V') называется порожденным подграфом графа G на множестве вершин X' (вершинно-порожденный подграф), если V' является таким подмножеством V, что ребро (x_i, x_j) входит в V' тогда и только тогда, когда x_i и x_j входят в X'.

Н а рис. 4.5 представлен порожденный подграф на множестве вершин {х₁, х₃, x₅} неориентированного графа, изображенного на рис 4.2.

Рис. 4.4 Рис. 4.5

4.2. Типы графов

Граф G называется полным, если любые две его вершины смежны. Полный граф порядка n обозначается символом К_n, число ребер в нем равно . На рис. 4.6 изображены графы К_n , n5.

Р ис. 4.6

Граф называется пустым, если в нем нет ребер. Пустой граф порядка n обозначается через О_n.

Граф, не содержащий вершин и, следовательно, ребер, называется ноль-графом. Граф, состоящий из одной вершины, называется тривиальным.

Красивыми примерами являются графы пяти платоновых тел (т. е. правильных многогранников): тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра (рис. 4.7).

Граф называется двудольным, если существует такое разбиение множества его вершин на две части (доли), что концы каждого ребра принадлежат разным частям. Если при этом любые две вершины, входящие в разные доли, смежны, то граф называется полным двудольным. Полный двудольный граф, доли которого состоят из р и из q вершин, обозначается символом K_p,q . При р=1 получаем звезду K_1,q. На рис. 4.8 изображены звезда К_1,5 и полный двудольный граф K_3,3.

Аналогично двудольным графам определяются k-дольный и полный k-дольный графы для k=3, 4, ... На рис. 4.9 приведен трехдольный граф.

Икосаэдр

Тетраэдр

Куб

Октаэдр

Додекаэдр

Рис. 4.8 Рис. 4.9

Легко подсчитать число всех графов с фиксированным множеством вершин X. Эти графы различаются своими ребрами, и потому их число равно количеству подмножеств в X⁽²⁾, т.е. 2 , где п=|X|. Однако эти графы не всегда следует различать. Как в применениях теории графов, так и в самой этой теории чаще существенно лишь то, что есть объекты (вершины графа) и связи между объектами (ребра). С этих позиций графы, которые получаются один из другого изменением наименований вершин, разумно не различать.

Два графа G₁ и G₂ называются изоморфными, если существует взаимно-однозначное отображение между множествами их вершин, сохраняющее смежность. Такое отображение называется изоморфизмом. Два орграфа изоморфны, если существует изоморфизм между их основаниями, сохраняющий порядок вершин на каждой дуге.

Например, три графа, представленные на рис. 4.10, изоморфны, а графы на рис. 4.11 не изоморф­ны. Вопрос о том, изоморфны ли два данных графа, в общем случае оказывается сложным.

Рис. 4.10

Рис. 4.11

Очевидно, что отношение изоморфизма графов является эквивалентностью, т. е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, множество всех графов разбивается на классы так, что графы из одного класса попарно изоморфны, а графы из разных классов не изоморфны. Изоморфные графы можно отождествлять, т. е. считать совпадающими (их можно изобразить одним рисунком). Они могли бы различаться конкретной природой своих элементов, но именно это игно­рируется при введении понятия «граф».

В некоторых ситуациях все же приходится различать изоморфные графы, и тогда полезно понятие «помеченный граф». Граф порядка п называется помеченным, если его вершинам присвоены некоторые метки, например, номера 1, 2, ..., n. Отождествив каждую из вершин графа с ее номером (и, следовательно, множество вершин – с множеством чисел {1, 2, ..., n}), определим равенство помеченных графов G₁=(X,V₁) и G₂=(X,V₂) одного и того же порядка: G₁=G₂ тогда, когда V₁=V₂. На рис. 4.12 изо­бражены три разных помеченных графа.

При необходимости подчеркнуть, что рассматриваемые графы различаются лишь с точностью до изоморфизма, говорят: «абстрактный граф». Строго говоря, абстрактный (или непомеченный) граф – это класс изоморфных графов.

Рис. 4.12

Если вершины графа соединены более чем одним ребром, то такой граф называется мультиграфом, а ребра – кратными. Мультиграф не допускает петель.

Граф, не содержащий петель и кратных ребер, называется простым.

Граф G=(X,V) называется симметрическим, если в V для любой дуги (x_i, x_j) существует противоположно ориентированная дуга (x_j, х_i). Условимся в этом случае соединять обе вершины одной непрерывной линией без стрелок.

Граф называется антисимметрическим, если каждая пара смежных вершин соединена только в одном направлении и петли отсутствуют.

Граф, у которого все вершины имеют одну и ту же степень, называется регулярным (однородным) графом. Если степень каждой вершины равна r, то граф называется регулярным (однородным) степени r. На рис. 4.10 изображены регулярные графы степени 3.

Граф, который можно изобразить на плоскости так, чтобы никакие два ребра не пересекались в точках, отличных от вершин, называется планарным графом.

Реберным графом L(G) простого графа G называется граф, вершины которого взаимно однозначно сопоставлены ребрам графа G, причем две вершины в L(G) смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им ребра смежны в G.

Орграф G' называется обратным к данному орграфу G, если он имеет те же вершины, что и G, а дуга (x_i, x_j) принадлежит G' тогда и только тогда, когда дуга (x_j, х_i) принадлежит G.