Материал: дз_струна_
Струна с закрепленными концами u(x; t), 0 x L, t 0, u(0; t) = u(L; t) = 0.
начальная форма u(x; 0) = k(x), начальные скорости @u@t (x; 0) = 0 движение описывается уравнением
|
|
|
|
|
|
|
@2u |
|
@2u |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@2x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
@2t |
|
|||||
решение можно найти в форме u(x; t) = v(x)T (t) |
|||||||||||||
|
@u |
|
@2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(x; t) = T (t)v0 |
(x), |
|
= T (t)v00(x) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
@x |
|
@2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
@u |
|
@2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(x; t) = v(x)T |
0(t), |
|
= v(x)T 00 |
(t) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
@t |
|
@2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уравнение можно переписать в виде |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T 00 |
v00 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2T |
|
v |
|||
поскольку левая часть уравнения зависит только от t, а правая зависит только от x
(переменные разделились), то обе функции должны быть постоянны. Из дальнейшего анализа будет видно, что постоянная должна быть отрицательной, таким образом по лучаем два уравнения
v00(x) + c2v(x) = 0, T 00(t) + a2c2T (t) = 0
Общее решение этих уравнений можно записать в виде v(x) = A cos(cx) + B sin(cx), T (t) = A cos(act) + B sin(act)
Если бы не было ограничение на постоянную, то могло бы возникнуть уравнение v00(x) c2v(x) = 0
но его решения v(x) = Aecx + Be cx не могут удовлетворять условию закрепленности концов струны.
Период колебаний cos и sin должен целиком укладываться в длину струны, поэтому |
||||||||||||
c = |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Общее решение второго уравнения теперь можно записать в форме |
||||||||||||
T (t) = A cos(a |
n |
t) + B sin(a |
n |
t) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
L |
L |
|
|
||||||
Таким образом получено бесконечно много решений исходного уравнения |
||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
n |
n |
||||
un(x; t) = (An cos(a |
|
t) + Bn sin(a |
|
t)) sin( |
|
x) |
||||||
L |
L |
L |
||||||||||
Все эти решения удовлетворяют условию закрепленности струны на концах, но скорее всего не удовлетворяют начальным условиям фора и скорости струны в начальный момент.
Отметим, что решения однородного уравнения образуют линейное пространство, поэто |
||||||
му любая их линейная комбинация то же является решением |
||||||
u(x; t) = Pn1=1(An cos(a |
n |
n |
n |
|||
|
t) + Bn sin(a |
|
t)) sin( |
|
x) |
|
L |
L |
L |
||||
Остается выбрать коэффициенты так, чтобы удовлетворить начальным условиям. В начальный момент струна имеет форму
1
Тогда по P |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u(x; 0) = |
|
n1=1 An sin( |
|
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условию |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k(x) = |
n1=1 An sin( |
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
( ) |
|||||
Pn |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то есть A коэффициенты разложения в ряд Фурье по |
|
функции k x |
||||||||||||
|
|
|
|
An |
= L Z0 |
L |
k(x) sin( L x)dx; n = 1; 2; : : : |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы удовлетворить условия на начальные скорости
@n@u(x; 0) = 0
Надо вычислить частную производную
@u@t (x; t) = P1n=1 a Ln ( An sin(a Ln t) + Bn cos(a Ln t)) sin( Lnx)
Следовательно
P1 n
n=1 Bn sin( L x) = 0
значит Bn = 0; n = 1; 2; : : :
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
u(x; t) = |
An cos(a L t) sin( L x) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание на тройку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вычислить коэффициенты An = 1; 2; 3; 4; 5 (точность 10 4) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
запишите (приближенное) равенств Прасеваля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Дополнительное задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Нарисовать (на компьютере) |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
P |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) график |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 An cos(a |
|
t) sin( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) график k(x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
L |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) форму струны в момент t = 10, |
5PAn cos(a n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10) sin( |
nx) |
||||||||||||||||||||||
|
колебаний средины струны |
|
n=1 |
A |
|
cos(a |
|
|
t) sin( |
|
|
L=2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
L |
|||||||
|
|
|
|
|
Pn=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
L |
||||||||
2