Материал: Электродинамика
Нетрудно показать, что циркуляция по произвольному контуру
Γ
есть
сумма циркуляций вдоль двух меньших контуров, на которые разбивается
Γ
:
I
Γ
=
I
Γ
1
+
I
Γ
2
.
Тогда, разбив произвольный контур на бесконечно малые
участки (см. рис. 2), используя для каждого участка (1.12) и суммируя урав-
нения
I
Γ
i
a
d
l
= (rot
a
)
i
∆
S
i
по всем участкам, получим
I
Γ
a
d
l
=
Z
S
rot
a
d
S
.
(1.13)
В этом состоит
теорема Стокса
: циркуляция поля по замкнутому контуру
равна потоку ротора этого поля через поверхность, ограниченную указанным
контуром.
Символическое исчисление.
Дифференциальные операции от произ-
ведений скалярных и векторных полей удобно вычислять, используя опера-
тор
∇
. Оператор
∇
используется потому, что с его помощью удобно получать
и записывать различные формулы векторного анализа.
∇
— дифференци-
альный векторный оператор, он имеет свойства производной и вектора, и
при операциях с ним следует пользоваться правилами дифференцирования
и формулами векторной алгебры.
Задача 4.
Вычислить градиент произведения двух скалярных функций.
Из свойств
∇
и правил векторной алгебры следует, что
grad(
f g
) =
∇
(
f g
) =
∇
(
↓
f g
) +
∇
(
f
↓
g
) =
g
∇
f
+
f
∇
g .
J
Таким образом, чтобы применить дифференциальную операцию к про-
изведению, надо переписать её через оператор
∇
, записать два слагаемых
(в которых
∇
действует сначала на первый множитель, затем — на второй)
и, пользуясь правилами векторной алгебры, расставить сомножители так,
чтобы «высвободить» из-под оператора
∇
те множители, на которые
∇
не
действует (например, расставить сомножители так, чтобы
∇
оказался справа
от тех множителей, на которые он не действует).
Рассмотрим ещё два примера вычисления дифференциальных операций
от произведений.
Задача 5.
Доказать, что
div [
ab
] =
b
rot
a
−
a
rot
b
.
Вычисляем, используя символическое исчисление:
div [
ab
] = (
∇
[
ab
]) = (
∇
[
↓
ab
]) + (
∇
[
a
↓
b
]) = (
b
[
∇
a
])
−
(
a
[
∇
b
]) =
=
b
rot
a
−
a
rot
b
.
J
11
Задача 6.
Доказать, что
grad (
ab
) = [
b
rot
a
]+(
b
∇
)
a
+[
a
rot
b
]+(
a
∇
)
b
.
Подействуем оператором
∇
на скалярное произведение
∇
(
ab
) =
∇
(
↓
ab
) +
∇
(
a
↓
b
) =
∇
(
b
↓
a
) +
∇
(
a
↓
b
)
.
Преобразовав члены в правой части:
∇
(
b
↓
a
) =
∇
(
b
↓
a
)
−
↓
a
(
b
∇
) +
↓
a
(
b
∇
) = [
b
[
∇
a
]] + (
b
∇
)
a
и аналогично второе слагаемое, доказываем справедливость тождества.
J
Остальные случаи действия оператора
∇
на произведения двух функций
предлагается разобрать самостоятельно (см. задачи 1.12–1.14 в конце насто-
ящего раздела).
Дифференциальные операции второго порядка.
В приложениях
векторного анализа приходится иметь дело не только с выполнением опе-
раций
grad
,
div
,
rot
, но и с их различными комбинациями. Особенно часто
встречаются так называемые операции второго порядка, т.е. попарные комби-
нации трех основных операций. Комбинируя символы
grad
,
div
,
rot
попарно,
можно составить девять пар, однако смысл имеют лишь следующие пять:
1)
rot grad
f
= [
∇
,
∇
f
] = [
∇
,
∇
]
f
= 0
;
2)
div grad
f
= (
∇
,
∇
f
) = (
∇
,
∇
)
f
=
∇
2
f
= ∆
f
;
3)
div rot
a
= (
∇
[
∇
a
]) = 0
;
4)
rot rot
a
= [
∇
[
∇
a
]] =
∇
(
∇
a
)
−
(
∇
,
∇
)
a
= grad div
a
−
∆
a
(«ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан») ;
5)
grad div
a
— см. п. 4.
Скалярный дифференциальный оператор
∆ =
∇
2
(см. п. 3) называется опе-
ратором Лапласа и в д.с.к. записывается как
∆ =
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
.
(1.14)
Интегральные соотношения.
Теоремы Остроградского (1.11) и Стокса
( 1.13) позволяют получать другие интегральные соотношения. Например,
положим в формуле Остроградского (1.11)
a
=
c
f
, где
c
— произвольный
постоянный вектор. Вычисляя дивергенцию, находим
div
a
= div (
c
f
) =
c
grad
f .
12
Подставляя в (1.11), приходим к равенству
µ
c
,
Z
V
grad
f dV
¶
=
µ
c
,
I
S
f d
S
¶
.
Или, в силу произвольности вектора
c
,
Z
V
grad
f dV
=
I
S
f d
S
.
Положим теперь
a
=
c
f
в формуле Стокса. Вычисляя ротор, находим
rot
a
= rot(
c
f
) =
−
[
c
grad
f
]
,
так что
−
µ
c
,
Z
S
[grad
f d
S
]
¶
=
µ
c
,
I
L
f d
l
¶
.
Отсюда получаем интегральное соотношение
−
Z
S
[grad
f d
S
] =
I
L
f d
l
.
Задачи для самостоятельного решения
1.9.
Вычислить: а)
grad
r
;
б)
grad
r
2
;
в)
grad
1
r
,
где
r
=
|
r
|
,
r
=
x
i
+
y
j
+
z
k
.
1.10.
Найти
grad(
cr
)
,
где
c
— постоянный вектор,
r
— радиус-вектор
из начала координат.
1.11.
Вычислить: а)
div
r
;
б)
rot
r
.
1.12.
Вычислить
div (
f
a
)
.
1.13.
Вычислить
rot(
f
a
)
.
1.14.
Доказать, что
rot[
ab
] = (
b
∇
)
a
−
(
a
∇
)
b
+
a
div
b
−
b
div
a
.
1.15.
Вычислить: а)
div
r
r
;
б)
div [
cr
]
,
где
c
— постоянный вектор.
1.16.
Вычислить: а)
rot (
f
(
r
)
r
) ;
б)
rot[
cr
]
,
где
c
— постоянный вектор.
1.17.
Доказать равенство
[[
M
∇
]
r
] =
−
2
M
.
1.18.
Вычислить
grad
(
dr
)
r
3
,
где
d
— постоянный вектор.
1.19.
Вычислить
rot
[
Mr
]
r
3
,
где
M
— постоянный вектор.
1.20.
Вычислить: а)
(
a
∇
)
r
;
б)
(
a
∇
)
f
(
r
) ;
в)
(
a
∇
)(
cr
)
.
13
1.21.
Вычислить
div (
b
(
ra
))
,
где
a
,
b
— постоянные векторы.
1.22.
Доказать, что циркуляция вектора
a
=
f
(
r
)
r
вдоль произвольного
замкнутого контура равна нулю.
1.23.
Доказать интегральное равенство
Z
rot
a
dV
=
I
[
d
Sa
]
.
1.3. Криволинейные координаты
При решении задач электродинамики, наряду с декартовой, часто при-
ходится использовать другие системы координат. Если тройка чисел
u
i
,
i
=
= 1
,
2
,
3
однозначно определяет положение произвольной точки в простран-
стве, то величины
u
i
можно рассматривать как координаты точек простран-
ства. Очевидно, координаты
u
i
могут быть выражены через декартовы коор-
динаты
x, y, z
:
u
i
=
u
i
(
x, y, z
)
.
Уравнение
u
i
(
x, y, z
) =
C
i
задает в пространстве
координатную поверх-
ность
. (Какие поверхности являются координатными в д.с.к.?) Придавая
C
i
различные значения, получим семейство координатных поверхностей. Таким
образом, имеется три семейства координатных поверхностей (для
i
= 1
,
2
,
3
),
причем через любую точку пространства проходит по одной поверхности
каждого из трех семейств. Линии, по которым пересекаются координатные
поверхности из разных семейств, называются
координатными линиями
. В
д.с.к. — это прямые, параллельные координатным осям. В произвольной си-
стеме координат
u
i
координатные линии, вообще говоря, кривые, поэтому
координаты называют криволинейными. Система координат называется
ор-
тогональной
, если в любой точке пространства координатные линии ортого-
нальны друг другу. Ортогональными являются, в частности, сферическая и
цилиндрическая системы координат.
Если в некоторой точке пространства провести касательные к коорди-
натным линиям и направить по ним единичные векторы
e
1
,
e
2
,
e
3
в сторону
возрастания соответствующей координаты, то получим ортогональный нор-
мированный базис. Заметим, что в отличие от д.с.к., определяемой тремя
постоянными единичными векторами
i
,
j
,
k
, этот базис будет меняться от точ-
ки к точке. Это не мешает, однако, любой вектор, заданный в произвольной
точке
M
(т.е. любое векторное поле), записать в виде линейной комбинации
e
1
,
e
2
,
e
3
.
Сферические и цилиндрические координаты.
Рассмотрим
сфериче-
скую систему координат
(с.с.к.), в которой положение точки
M
в простран-
стве определяется следующими тремя величинами (рис. 3):
1) расстоянием
r
от начала координат до точки
M
;
2) углом
θ
между положительным направлением оси
z
и отрезком
OM
;
14
3) углом
ϕ
между положительным направлением оси
x
и проекцией
OM
1
отрезка
OM
на плоскость
xy
.
Из рисунка видно, что декартовы координаты
z
x
y
M
M
O
Q
f
1
r
Рис. 3
точки
M
связаны с её сферическими координатами
следующими соотношениями:
x
=
r
sin
θ
cos
ϕ,
y
=
r
sin
θ
sin
ϕ,
z
=
r
cos
θ .
(1.15)
Когда точка
M
пробегает все пространство, сфери-
ческие координаты изменяются в пределах
0
6
r <
∞
,
0
6
θ
6
π,
0
6
ϕ <
2
π.
(1.16)
Рассмотрим элемент объема между тремя парами бесконечно близких
координатных поверхностей: двумя сферами радиусов
r
и
r
+
dr
, двумя по-
луконусами, определяемыми углами
θ
и
θ
+
dθ
, и двумя полуплоскостями,
составляющими углы
ϕ
и
ϕ
+
dϕ
с плоскостью
xz
(рис. 4). Этот элемент
объема представляет собой, с точностью до малых высшего порядка, пря-
моугольный параллелепипед с ребрами
rdθ
,
dr
и
r
sin
θdθ
. Следовательно,
объем этого параллелепипеда равен
dV
=
r
2
sin
θ dr dθ dϕ.
(1.17)
Аналогично часть поверхности сферы радиуса
r
, ограниченную двумя
близкими меридианами и двумя близкими параллелями, можно рассматри-
вать как бесконечно малый прямоугольник со сторонами
rdθ
и
r
sin
θdϕ
, пло-
щадь которого
dS
=
r
2
sin
θ dθ dϕ.
(1.18)
Напомним также, что отношение площади
dS
ча-
f
Q
d
r
r
d
Q
r
sin
d
Q
f
y
x
z
Рис. 4
сти сферы к квадрату радиуса сферы определяет
величину телесного угла, высекающего поверхность
dS
на сфере
d
Ω =
dS
r
2
,
поэтому в сферических координатах
d
Ω = sin
θdθdϕ.
(1.19)
Интегрируя
d
Ω
по всем возможным значениям
θ
и
ϕ
, получим полный телес-
ный угол:
Ω =
π
Z
0
sin
θdθ
2
π
Z
0
dϕ
= 4
π,
(1.20)
15