Лабораторная работа: Фильтр Баттерворта

3

Лабораторная работа

«Фильтр Баттерворта»

Введение

Цель работы: реализовать фильтр Баттерворта нижних частот.

Теоретические сведения

Исходные данные для расчета фильтра

В данной статье мы произведем расчет коэффициентов H(z) цифрового БИХ фильтра Баттерворта по заданному коридору АЧХ. Пусть требуется произвести расчет цифрового ФНЧ Баттерворта, удовлетворяющего следующему коридору АЧХ:

Нормированная частота среза рад/с.

Нормированная частота заграждения рад/с.

Неравномерность в полосе пропускания R_p=1 дБ.

Уровень подавления в полосе заграждения R_s=30 дБ.

Графически заданный коридор АЧХ показан на рисунке 1.

Рисунок 1 - Исходные данные для расчета цифрового ФНЧ

Необходимо сделать замечания.

Замечание 1. Поскольку фильтр цифровой, то его АЧХ является периодической с периодом и симметрична относительно нормированной частоты , поэтому исходные данные задаются относительно нормированной частоты в интервале от 0 до рад/с.

Замечание 2. Многие программные пакеты (в том числе библиотека dsp.dll) задают параметры фильтра относительно нормированной частоты в интервале от 0 до 1, что необходимо учитывать при задании граничных частот фильтра.

Замечание 3. Существует несколько способов задания исходных данных. В данном примере мы задаем коридор АЧХ, порядок фильтра выбирается таким, чтобы обеспечить АЧХ фильтра внутри коридора. Также можно задать порядок фильтра и частоту среза, а частота заграждения получается в зависимости от порядка фильтра.

Шаги которые необходимо осуществить для расчета фильтра.

1. Произвести пересчет параметров коридора АЧХ цифрового фильтра в параметры коридора АЧХ аналогового фильтра;

2. Рассчитать порядок фильтра исходя из параметров коридора АЧХ аналогового фильтра (если порядок задан, то данный пункт пропускаем);

3. Расчет передаточной характеристики Н_н(s) аналогового нормированного ФНЧ требуемого порядка;

4. Частотное преобразование Н_н(s) в передаточную характеристику Н_н(s) аналогового фильтра, согласно коридору АЧХ.

5. Билинейное преобразование передаточной характеристики Н(s) аналогового фильтра в передаточную характеристику Н(z) цифрового фильтра.

Итак, произведем расчет цифрового фильтра согласно заданного коридора АЧХ.

Пересчет параметров коридора АЧХ цифрового фильтра в параметры коридора АЧХ аналогового фильтра

Поскольку переход от аналогового фильтра к цифровому осуществляется через билинейное преобразование, которое искажает шкалу частот, то на первом шаге необходимо учесть это искажение для того чтобы сформулировать требования к коридору АЧХ аналогового фильтра таким образом, чтобы на пятом шаге при билинейном преобразовании получить именно тот фильтр что нам нужен. Искажение шкалы частот при билинейном преобразовании происходит согласно выражению:

(1)

где T- интервал дискретизации;

- шкала частот аналогового фильтра;

- нормированная шкала частот цифрового фильтра.

Период АЧХ цифрового фильтра по нормированной шкале частот равный соответствует интервалу дискретизации T=2. Тогда произведем пересчет исходных данных для задания коридора АЧХ аналогового фильтра.

Частота среза _р аналогового фильтра:

(2)

Частота заграждения _s аналогового фильтра:

(3)

Неравномерность в полосе пропускания R_p=1 дБ и уровень подавления в полосе заграждения R_s=30 дБ при билинейном преобразовании не меняются. амплитудный цифровой баттерворт

Расчет порядка фильтра удовлетворяющего исходным данным

На втором шаге необходимо рассчитать порядок аналогового фильтра N (он же порядок цифрового, поскольку билинейное преобразование не меняет порядка фильтра) по заданному коридору АЧХ аналогового фильтра: _р, _s, R_p, R_s. Порядок ФНЧ Баттерворта равен (выражение для порядка фильтра Баттерворта было получено здесь):

(4)

где log() - натуральный логарифм (в русскоязычной литературе обозначается как ln(), а

(5)

тогда получим порядок фильтра

(6)

Округляем порядок фильтра до большего целого и получаем требуемый порядок фильтра N=3.

Расчет передаточной характеристики аналогового нормированного ФНЧ требуемого порядка

На данном шаге мы рассчитаем передаточную характеристику Н_н(s) аналогового нормированного ФНЧ Баттерворта требуемого порядка N=3. Передаточная характеристика нормированного ФНЧ Баттерворта имеет вид:

(7)

В нашем случае N=3, значит L=1 и r=1, ,

Тогда подставив эти данные в выражение (7) получим:

(8)

Передаточная характеристика Н_н(s) нормированного ФНЧ Баттервотра рассчитана, переходим к следующему шагу.

Частотное преобразование передаточной характеристики аналогового нормированного ФНЧ

Мы рассчитали нормированный ФНЧ Баттерворта 3-го порядка с частотой среза 1 рад/c, в то время как нам нужна передаточная характеристика Н(s) аналогового ФНЧ с частотой среза =0,32492 рад/с. Для получения Н(s) с заданной частотой среза из передаточной характеристики Н_н(s) ФНЧ с частотой среза 1 рад/с необходимо произвести преобразование ФНЧ-ФНЧ согласно подстановки получим:

(9)

Расчет передаточной характеристики цифрового фильтра. Билинейное преобразование

Нам остался последний шаг - билинейное преобразование передаточной характеристики (9) аналогового фильтра в искомую передаточную характеристику H(z) цифрового фильтра.

Билинейное преобразование осуществляется подстановкой

(10)

Ранее мы брали T=2, тогда передаточная характеристика H(z) равна:

(11)

Раскрыв скобки, приведя подобные и отнормировав к свободному члену знаменателя a₀=32,82 (коэффициенту при нулевой степени z⁰), получим следующую передаточную характеристику:

(12)

Таким образом, коэффициенты фильтра приведены в таблице:

Таблица 1 - Коэффициенты фильтра

Расчет цифрового ФНЧ Баттерворта по заданному коридору АЧХ закончен. Нам осталось лишь проверить, что полученная передаточная характеристика удовлетворяет заданному коридору. Для этого построим квадрат АЧХ полученного фильтра (рисунок 2), подставив в (12) .

Рисунок 2 - Квадрат АЧХ рассчитанного фильтра

Рисунок 3 - ФЧХ рассчитанного фильтра

На рисунке 2 серым выделен коридор АЧХ соответствующий исходными данным. Отчетливо видно, что полученный ФНЧ Баттерворта полностью укладывается в заданный коридор АЧХ. На рисунке 3 показана ФЧХ рассчитанного фильтра.

Разностное уравнение полученного фильтра имеет вид:

(13)

где x(k) - цифровой сигнал на входе фильтра, y(k) - отфильтрованный цифровой сигнал на выходе фильтра. С учетом того, что мы отнормировали коэффициенты передаточной характеристики к коэффициенту a₀, мы получили a₀=1,0. Кроме того, все b_m и a_m равны нулю при , тогда уравнение (13) можно переписать:

(14)

Структурная схема данного фильтра в канонической форме показана на рисунке 4.

Рисунок 4 - Структурная схема фильтра в канонической форме

Результаты лабораторной работы

Рисунок 5 - Исходные данные для расчета ФНЧ Баттерворта из программы Matlab

Рисунок 6 - сигнал до применения Фильтра

Рисунок 7 - Сигнал после применения фильтра Баттерворта