Материал: Формулы теории вероятности
24. Коэффициент ковариации (совместной вариации) случайных величин
n |
m |
cov( X ;Y ) M ( X M ( X )) (Y M (Y )) (xi M ( X ))( y j M (Y )) pij – математическое |
|
i 1 |
j 1 |
ожидание произведения линейных отклонений случайных величин от соответствующих математических ожиданий.
Данный коэффициент удобно вычислять по формуле:
n |
m |
|
|
|
cov( X ;Y ) M ( XY ) M ( X ) M (Y ) , где M ( XY ) xi y j pij для дискретной и |
||||
i 1 |
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M ( XY ) xyf (x, y)dxdy – для непрерывной случайной величины. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение коэффициента не превосходит по модулю |
cov( X ;Y ) |
|
D( X ) D(Y ) , где |
|
D( X ), D(Y ) – дисперсии случайных величин. |
|
|
|
|
Если случайные величины независимы, то cov( X ;Y ) 0 , обратное в общем случае неверно.
25. Коэффициент линейной корреляции
r |
|
cov( X ;Y ) |
, где ( X ), (Y ) – стандартные отклонения случайных величин. |
|
|||
xy |
|
( X ) (Y ) |
|
Данный коэффициент принимает значения из промежутка 1 rxy 1
26. Неравенство Чебышева
Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ёё математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем:
P |
|
X M ( X ) |
|
1 |
D( X ) |
, где D( X ) – дисперсия этой случайной величины. |
|
|
|||||
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
27. Теорема Чебышева
Если X1, X 2 , X3 , ..., X n – попарно независимые случайные величины, причём дисперсии их
равномерно ограничены (не превосходят постоянного числа C ), то, как бы ни было малО положительное число , вероятность неравенства
|
X1 X 2 |
... X n |
|
M ( X1 ) M ( X 2 ) ... M ( X n ) |
|
|
будет сколь угодно близка к единице, |
|
|
||||||
|
n |
|
n |
||||
|
|
|
|
|
|
если число случайных величин достаточно велико. Иными словами:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
X |
2 |
... X |
n |
|
M ( X |
) M ( X |
2 |
) ... M ( X |
n |
) |
|
|
lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!