Статья: Комплексный расчет электрических сетей
Основы комплексного расчета электрических цепей
Комплексный ток — это комплексное действующее значение синусоидального тока.
Одним из основных способов расчета электрических цепей переменного тока является символический или комплексный метод. Как правило, он используется при анализе электрических схем с гармоническими токами, напряжениями и электродвижущей силой. В результате решения получается комплексное значение напряжений и токов. Синусоидальная величина может быть представлена:
- В форме вращающегося вектора.
- В виде комплексного числа.
Пример вращающегося вектора изображен на рисунке ниже.
Рисунок 1. Пример вращающегося вектора.
По данному рисунку видно, что синусоидальная величина а изменяется с течением времени, которая может быть входным напряжением или любым другим параметром электрической сети. Величина имеет некоторое начальное значение (t=0) при начальной фазе ф:
Рисунок 2. Формула.
При угле Wt3, когда сумма Wt3+ф=90 и соответственно:
Рисунок 3. Формула.
Синусоидальная величина при угле Wt7, когда сумма Wt7 + ф = 270 будет иметь отрицательное значение:
Рисунок 4. Формула.
Величина будет иметь отрицательное значение при углах Wtn + ф = 0, когда Wtn = –ф (данная область на рисунке не отмечена), таким образом:
Рисунок 5. Формула.
Также нулевое значение у синусоидальной величины будет при угле Wt11, когда Wt11+ ф = 360:
Рисунок 6. Формула.
Именно по такому закону может меняться синусоидальная величина, например напряжение, изменяясь от 0 до максимального значения и обратно.
Другая форма представления — комплексная
Рисунок 7. Формула.
Для этого строится график (комплексная плоскость) зависимости двух величин, как на рисунке ниже.
Рисунок 8. График.
Длина вектора Аm равна максимальному значению амплитуды рассматриваемой величины. Если учитывать начальную фазу (ф), то это число записывается следующим образом.
Рисунок 9. Формула.
В практических расчетах комплексного метода применяют не амплитудное значение, а действующее, которое меньше в корень из 2 амплитудного:
Рисунок 10. Формула.
При работе с комплексными числами применяется один из трех способов записи комплексного числа: тригонометрическая форма, алгебраическая форма, показательная форма. Например, имеется комплексное число в показательной форме:
Рисунок 11. Формула.
В тригонометрической форме оно будет иметь следующий вид:
Рисунок 12. Формула.
В итоге при переходе в алгебраическую форму, учитывая, что:
Рисунок 13. Формула.
получаем:
Рисунок 14. Формула.
где, ReA = 8,66 – действительная составляющая комплексного числа; ImA = 5 – мнимая составляющая комплексного числа.
При переходе от алгебраической формы к показательной получаем число следующего вида
Рисунок 15. Формула.
Оно переходит к показательной форме следующим преобразованием:
Рисунок 16. Формула.
А угол рассчитывается по формуле
Рисунок 17. Формула.
И в итоге получается:
Рисунок 18. Формула.
Пример расчета электрической цепи комплексным методом
Алгоритм комплексного расчета электрической цепи выглядит следующим образом:
- Составляется комплексная схема электрической цепи, в которой мгновенные значения токов, напряжений и электродвижущей силы заменяются на комплексные.
- Выбираются и обозначаются направления токов.
- Составляется комплексное уравнение.
- Решается уравнение относительно комплексного значения искомой величины.
- При необходимости записываются мгновенные значения полученных комплексных величин.
Рассмотрим схему электрической цепи с последовательным соединением (рисунок ниже), в которой нам известны сопротивления — R1, R2 и R3, емкость — С, индуктивность — L и частота — f, электродвижущая сила е = 141sin*Wt (закон изменения ЭДС)
Рисунок 19. Схема электрической цепи.
Сначала составляется комплексная схема, на которой обозначаются комплексные токи и напряжения.
Рисунок 20. Комплексная схема.
Ток в цепи равен:
Рисунок 21. Формула.
где, U – входное комплексное напряжение; Z – полное сопротивление всей электрической цепи.
Комплексное напряжение рассчитывается по формуле:
Рисунок 22. Формула.
В данном случае начальная фаза ф=0, потому что для мгновенного значения напряжения вида
Рисунок 23. Формула.
при ф =0 получаем:
Рисунок 24. Формула.
Таким образом в показательной форме напряжение записывается:
Рисунок 25. Формула.
Комплексное сопротивление имеет следующий общий вид:
Рисунок 26. Формула.
Комплексное сопротивление емкости имеет следующий вид
Рисунок 27. Формула.
Откуда общее комплексное сопротивление электрической сети рассчитывается по формуле:
Рисунок 28. Формула.
Таким образом, после нахождения комплексного сопротивления становится возможным найти комплексный ток по второму закону Ома. Далее находятся комплексные напряжения на элементах цепи:
Рисунок 29. Формула.
Для проверки результатов можно использовать второй закон Кирхгофа, согласно которому должно выполняться равенство:
Рисунок 30. Формула.
В результате проверки допускается небольшое расхождение, которое может получиться в результате промежуточных округлений при расчете комплексных величин, а также преобразовании их из одной формы в другую.
Комплексный метод расчета электрических сетей уже давно доказал свою эффективность на практике. Его активно применяют на промышленных предприятиях, при строительстве объектов различного назначения, в том числе и объектах электроснабжения. Один из недостатков метода заключается в его большом объеме вычислительных и преобразовательных действий, поэтому для ускорения процесса используют электронно-вычислительные процессы и специальные программы.