Рисунок 3.7 - Пример раскручивающихся моделей в Mathcad
Независимого от того, раскручиваются или скручиваются приведенные модели, у них есть предельный цикл, то есть теоретически есть такой промежуток, дальше границ которого модель не выйдет. Поэтому на приведенных выше графиках, можно заметить эту границу. Хотя границы ее не совсем точные, поэтому для большего приближения проведем итерацию, которая представлена а рисунке 3.8.
Рисунок 3.8 - Пример итерации
После первой итерации, границы модели заметно приблизились к своему предельному циклу. Проведем повторную итерацию, которая представлена на рисунке 3.9.
Рисунок 3.9 - Пример повторной итерации
После повторной итерации можно заметить, что движение нормализовалось и стало проходить практически возле одной и той же границы. В связи с тем, что графики раскручиваются, амплитуда их должна увеличиваться. Зависимость амплитуды от времени представлена на рисунке 3.10.
Рисунок 3.10 - Зависимость амплитуды от времени
Для того чтобы понимания, как ведут себя графики в пространстве, построим трехмерные графики, которые представлены на рисунке 3.11.
Рисунок 3.11 - Трехмерные графики
Особый интерес кусочно-линейных уравнений третьего порядка, возникает при условии, которое представлено в виде формулы:
(3.2)
Вопрос нахождения предельного цикла для кусочно-линейного уравнения третьего порядка, является малоизученным. Совместно с изучением предельных циклов, встает проблема определения устойчивости или неустойчивости стационарных решений. Основное внимание уделяется коэффициентам уравнений на поведение решений. Для данных уравнений, проводится секторное разделение пространства коэффициентов.
Пример кусочно-линейного уравнения третьего порядка имеет вид:
Где a, b, c, d -любые вещественные числа, а л-скалярный параметр.
Проведем секторное разделение пространства коэффициентов для случая, представленного в виде формулы:
(3.4)
В результате секторного разделения, получим следующее уравнение:
(3.5)
В результате секторного разделения, появились следующие области:
1. M1 = {(a, b, c) : ab > c, a > 0, c > 0 и {a 2 ? 3b ? 0 или {a 2 ? 3b > 0 и c /? [A1; A2]}}};
2. M2 = {(a, b, c) : ab > c, a > 0, c > 0, a2 ? 3b > 0 и c ? [A1; A2]};
3. M3 = {(a, b, c) : {c > max{0, ab} и a 2 ? 3b ? 0} и {a 2 ? 3b > 0 и c > max{0, ab, A1}}};
4. M4 = {(a, b, c) : a 2 ? 3b > 0, 0 < c < A1 и {b < 0 или a < 0}};
5. M5 = {(a, b, c) : ab < c, a < 0, c < 0 и {a 2 ? 3b ? 0 или {a 2 ? 3b > 0 и c /? [A1; A2]}}};
6. M6 = {(a, b, c) : ab < c, a < 0, c < 0, a2 ? 3b > 0 и c ? [A1; A2]};
7. M7 = {(a, b, c) : {c < min{0, ab} и a 2 ? 3b ? 0} и {a 2 ? 3b > 0 и c < min{0, ab, A1}};
8. M8 = {(a, b, c) : a 2 ? 3b > 0, A2 < c < 0 и {b < 0 или a > 0}}, где A1,2 = ± 2 27 v (a 2 ? 3b) 3 + ab 3 ? 2a 3 27 .
Установив, что условие D = 0, эквивалентно равенствам А1 = А2 = 0.
Опираясь на данные условия и на анализ корней характеристических уравнений, определяются следующие области изменения коэффициентов, которые представлены на рисунке 3.12.
Рисунок 3.12 - Области изменения
Заключение
В результате проделанной квалификационной работы, были исследованы дифференциальные уравнения третьего порядка, а в частности составлены и компьютерные модели с подробным их описанием. Так-же в процессе работы были разобраны труды таких ученых, как Лоренц и Ван дер Поль, которые внесли существенный вклад в изучение дифференциальных уравнений. В результате решения данных уравнений, было наглядно представлено, что в процессе движения моделей на графиках, наступает такой момент, когда данная модель не может перейти дальше определенной границы. То-есть, она практически зацикливается около одной линии, все это говорит о том, что модель дошла до своего предельного цикла.
Особое внимание при разборе предельных циклов, уделялось кусочно-линейным дифференциальным уравнениям третьего порядка. Так как вопрос существования предельного цикла, для данных уравнений мало изучен. Решая кусочно-линейные уравнения третьего порядка, внимание обращается на обнаружение не только предельного цикла, но и на определение устойчивости или неустойчивости стационарных решений. На поведение решений, существенную роль играют коэффициенты уравнения, над которыми в свою очередь, проводят секторное разделение пространства.
Благодаря проделанной работе, изучение дифференциальных уравнений станет намного проще, так как есть не только готовые коды, но и визуальное представление, как по простым решениям, так и сложным частным случаям. Студенты или обычные люди, которые хотят изучать дифференциальные уравнения, смогут визуально представлять, что происходит при решении в том или ином случае. А уже потом вносить самостоятельно свои данные.
Для работы с дифференциальными уравнениями использовался математический пакет MathCad, с его встроенным внутренним языком. Поэтому конкретного визуального приложения, на подобии сайта, либо какого-то клиента для компьютера, в данной работе не предусмотрено. Сам код в MathCad, вместе со всеми графиками уже, является полноценной программой, в которой можно вносить изменения и в зависимости от веденных условий, будет выводиться соответствующий результат.
Список использованных источников
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969. - 424 с.
2. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения.
3. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 384 с.
4. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениями с частными производными первого порядка. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 416 c.
5. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1975. - 632 с.
6. Арнольд В.И., Афраймович В.С., Ильященко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т.5. Динамические системы V. - М.: ВИНИТИ, 1986.- С. 5-218.
7. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. - М.: ИЛ, 1954. - 216 с.
8. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. - М.: Дрофа, 2004. - 513 с.
9. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1969. - 527 с.
10. Каддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Иностранной литературы, 1958. - 475 с.
11. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траектории дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1966, 332 с.
12. Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. - М.: Мир, 1983. - 397 с.
13. Понтрягин Л.С Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1982. - 334 с.
14. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. - М.: Наука, 1971. - 288 с.
15. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. - и.: Едиториал УРСС, 2004. - 152 с.
16. Филипов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М.: ЛКИ, 2008. - 240 с.
17. Филипов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной частью. - М-Наука, 1985. - 255 с.
19. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. - М-Наука, 1986. 288 с.
20. Ф. Хартман., обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970. - 720 с.
21. Амельников В.В. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987. - 160 с.
22. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа, 1967. - 565 с.
23. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. - М.: Высшая школа, 1989. - 383 с.
24. Пантилеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. - М.: ИЗДАТЕЛЬТВО МАИ, 2000. - 380 с.
25. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 448 с.
26. Модели дифференциальных уравнений - studfiles [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://studfiles.net/preview/3001665/page:28/
27. Система Лоренца - vestnik.tstu [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://vestnik.tstu.ru/rus/t_16/pdf/16_1_015.pdf
28. Дифференциальное уравнение - wikipedia [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциальное_уравнение
29. Дистанционное обучение - 1cov-edu [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/
30. Предельный цикд - books.alnam [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://books.alnam.ru/book_atk.php?id=70
31. Признаки предельно цикла - cyberleninka [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/priznaki-suschestvovaniya-predelnyh-tsiklov-differentsialnyh-uravneniy-vtorogo-poryadka