Пермская государственная фармацевтическая академия
Конечные непримарные группы, все собственные фактор-группы которых примарны
С.И. Фаерштейн
И.С. Фаерштейн
Теорема. Пусть G - конечная непримарная группа, всякая собственная фактор-группа которой является примарной группой. Тогда G принадлежит одному и только одному из следующих классов групп:
,
где
где - элементарная абелева p-группа, являющаяся минимальным нормальным делителем; B - q-группа, не имеющая инвариантных в G подгрупп, кроме единичной.
,
где A - произвольная неразрешимая группа, являющаяся минимальным нормальным делителем; B - p-группа, не имеющая инвариантных в G подгрупп, кроме единичной.
Доказательство
Достаточность проверяется непосредственно.
Необходимость. Пусть сначала G - абелева группа. Тогда делится ровно на 2 различных простых числа и порядок всякой силовской подгруппы группы G - простое число. Таким образом, G - группа типа I теоремы.
Пусть G - разрешимая неабелева группа и A - абелев неединичный член ряда коммутантов группы G. Так как всякая фактор-группа группы G является примарной группой, то A - силовская p-подгруппа и A не имеет собственных подгрупп, инвариантных в G. Отсюда следует, что A - минимальный нормальный делитель, являющийся элементарной абелевой p-группой.
Фактор-группа является q-группой B, причем ясно, что в B нет подгрупп, инвариантных в G, кроме единичной. Таким образом, G - группа типа II теоремы.
Пусть G - неразрешимая группа и A - ее минимальный нормальный делитель. Так как фактор-группа является p-группой и, в частности, разрешимой группой, а группа G - неразрешимая группа, то и A - неразрешимая группа. Фактор-группа является p-группой B. Ясно, что B не имеет инвариантных в G подгрупп, кроме единичной. Таким образом, G - группа типа III теоремы. Необходимость доказана. Теорема доказана.
коммутант абелев неединичный член