Материал: m12

Определение средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха.

Приборы и принадлежности: бюретка с пробкой, в которую вставлен капилляр, стакан, микроскоп, секундомер, срез капилляра, линейка, предметная шкала.

Согласно молекулярно-кинетической теории хаотическое движение молекул является физической причиной наблюдаемых в газах явлений переноса: перенос энергии при выравнивании температур (теплопроводность), перенос массы при выравнивании плотности (диффузия) и перенос импульса (вязкость). Хотя величины скоростей молекул относительно велики и могут достигать сотен метров в секунду, процессы переноса происходят сравнительно медленно. Причиной этого является то, что в явлениях переноса важную роль играют не только скорости молекул, но и столкновения между ними, которые препятствуют свободному движению молекул, заставляют их двигаться не прямолинейно, а зигзагообразно, по ломаной линии.

Силы взаимодействия молекул становятся заметными лишь при малых расстояниях между ними. Поэтому принимается, что на пути свободного пробега молекулы движутся прямолинейно и равномерно. Отклонение молекул от прямолинейных траекторий их движений происходят только в момент удара молекул. Изменение направления движения на заметный угол под действием другой молекулы называется столкновением молекул. Именно с таким понятием столкновения связана величина, которая характеризует размеры молекул.

То минимальное расстояние между центрами двух молекул, на котором под действием сил отталкивания происходит явление, подобное удару, называется эффективным диаметром молекулы (D_эф).

Расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега молекул (). Так как молекул много и регулярности в процессе столкновения нет, то обычно определяется средняя длина свободного пробега молекул . Средняя длина свободного пробега молекул зависит от эффективного диаметра молекул D_эф и числа молекул в единице объема n, т.е.

(1)

Количественное определение средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул возможно при исследовании явлений переноса: диффузии, теплопроводности и внутреннего трения (вязкости). Скорость выравнивания концентраций (при диффузии), температур (при теплопроводности) и скорости движения слоёв газа или жидкости (при внутреннем трении) определяется столкновениями молекул при их тепловом движении. Поэтому коэффициенты, характеризующие любое из этих явлений переноса прежде всего связаны с параметрами, характеризующими столкновения молекул - длиной свободного пробега и эффективным диаметром молекул.

В данной работе вычисляется средняя длина свободного пробега и эффективный диаметр молекул воздуха по коэффициенту внутреннего трения (вязкости).

Известно, что коэффициент внутреннего трения

(2)

где - коэффициент внутреннего трения (вязкости), - плотность газа (в данной работе - воздуха), - средняя длина свободного пробега молекул, - средняя (арифметическая) скорость молекул газа при данной температуре.

Из (2) получаем:

(3)

Определим величины , входящие в это уравнение экспериментально.

1). Определение коэффициента внутреннего трения (вязкости).

Рассмотрим подробнее стационарное течение газа (или вязкой жидкости) по прямой капиллярной трубке постоянного сечения. Течение газа по трубке обусловлено разностью давлений Р на концах трубки длинной l. Очевидно, что скорость течения газа по трубке прямо пропорциональна градиенту давления и сечению трубки. Между слоями газа при течении его по капилляру действует сила трения, характеризующаяся коэффициентом трения , которая уменьшает скорость течения газа. Таким образом скорость течения газа по трубке (см. Стрелков С.П. «Механика»)

(4)

где r – радиус капилляра.

Зная скорость течения газа по трубке, можно рассчитать объём газа, протекшего по трубке в единицу времени или

,

а за время t

(5)

Из (5), определим  - коэффициент внутреннего трения

. (6)

2). Определение  - плотности газа при данной температуре.

Из уравнения Менделеева – Клапейрона

находим плотность газа при данной температуре.

(7)

где P - атмосферное давление газа, Т – температура газа,  - молярная масса газа.

3). Определение средней арифметической скорости молекул газа .

Из молекулярно – кинетической теории известно, что средняя арифметическая скорость молекул газа

(8)

Подставляя уравнения (6), (7), (8), в уравнение (3) получим формулу для определения длины свободного пробега молекул

, (9)

где – r радиус капилляра,  - разность на концах капилляра, t – время протекания газа, T – температура газа, V объём газа, P - атмосферное давление газа, l – длина капилляра,  - молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная.

Выражение (9) можно записать в следующем виде:

(9’)

где

Эффективный диаметр молекул можно вычислить, зная - среднюю длину свободного пробега молекул.

Согласно уравнению (1)

,

где n – число молекул в единице при данных условиях D_эф- эффективный диаметр молекул.

Зная, что давление газа P=nkT, откуда где k – постоянная Больцмана, T – температура газа.

Таким образом

(10)

Описание установки. Рис. 1

Для определения длины свободного пробега молекул смонтирована установка, изображённая на рисунке 1.

Бюретка (1) заполняется водой. Верхний конец бюретки плотно закрывается пробкой (2) с капилляром (3).

Если открыть кран (4), то вода из бюретки вначале выливается в сосуд (5) непрерывной струёй, а затем следующими друг за другом каплями. В то же время через капилляр в бюретку поступает воздух. В капилляре устанавливается течение воздуха в результате того, что разные концы его будут находиться под разным давлением (верхний конец – под атмосферным давлением P, нижний – под давлением меньше атмосферного на величину давления водяного столба т.е. (P-gh)). Так как капилляр узок, то воздух через него просачивается очень медленно.

Порядок выполнения работы

1. Определяют диаметр (радиус) капилляра с помощью микроскопа.

а) В начале нужно определить цену деления окулярной шкалы микроскопа, совмещая её с предметной. Предметная шкала представляет собой прозрачную пластину, на которую нанесены 3 штриха на расстоянии1 мм друг от друга (рисунок 2 а). Предметную шкалу помещают на предметный столик микроскопа и добиваются резкого изображения штрихов. Поворачивая предметную шкалу, добиваются, чтобы штрихи были параллельны делениям окулярной шкалы. Записывают положение крайних штрихов на окулярной шкале в таблице 1 в виде значений N 1 и N 2 (в малых делениях окулярной шкалы). Перемещая предметную шкалу по столику вправо и влево, делают 5 измерений, заполняют таблицу 1.

Таблица 1

где х – цена деления окулярной шкалы микроскопа, N - разность отчетов (N 2 - N 1)

Цена деления показывает долю мм, приходящуюся на одно деление шкалы микроскопа.

б) На предметный столик микроскопа помещают пластину со срезом капилляра. Добившись резкого изображения капилляра на фоне окулярной шкалы записывают в таблицу 2 положение краев отверстия капилляра в малых делениях окулярной шкалы N’₁ и N’₂. Поворачивая капилляр (примерно на 120), делают 5 измерений (рисунок 2 б). Заполняют таблицу 3 и определяют Nⁱср. в делениях окулярной шкалы, затем переводят в миллиметры

(мм),

d – диаметр капилляра в мм.

- радиус капилляра в мм. Записывают радиус капилляра в метрах.

Рис. 2

2. Осторожно вынимают пробку с капилляром из бюретки и наливают воду в бюретку до определённой отметки.

3. Осторожно закрывают бюретку пробкой (плотно, осторожно вращая).

4. Под кран бюретки ставят стакан.

5. Готовят к работе секундомер. Открывают кран бюретки. В тот момент, когда вода из бюретки начинает вытекать каплями, отмечают высоту h₁ столба жидкости в бюретке (см. рисунок 1) и включают секундомер.

6. Когда уровень воды в бюретке опустится до высоты h₂, секундомер выключают. Записывают время вытекания жидкости каплями t.

7. По шкале, нанесённой на бюретке, определяют объём V вытекший жидкости, равный объёму прошедшего через капилляр газа.

8. Рассчитывают  - разность давлений на концах капилляра

где h – высота водяного столба, , тогда , где _в = 10³кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. h₁, h₂ – высота начального и конечного уровня воды в бюретке.

9. Измеряют длину капилляра l обычной линейкой.

10. Измеряют атмосферное давление P по барометру.

11. Измеряют комнатную температуру Т.

12. Все данные записывают в таблицу 2 вносят табличные данные R = 8,310³ Дж/к моль К,  = 29 кг/к моль,k = 1,3810^-23 Дж/К.