Материал: m33751_5
1. Установить
вид частного
решения
с неопределенными коэффициентами по
виду функции
,
стоящей в правой части уравнения (3.4).
Для этого требуется:
1.1.
Составить характеристическое уравнение
и найти его корни
и
.
1.2. Определить по функции (3.6) число и сравнить его с и .
1.3.
Положить 
1.4. Определить порядок n многочлена в функции (3.6) и записать частное решение в виде
, (3.7)
где
коэффициенты
,
,
,
…,
– не определены.
2. Отыскать значения неопределенных коэффициентов так, чтобы выражение (3.7) действительно являлось решением уравнения (3.4).
Для этого требуется:
2.1. Продифференцировать функцию (3.7) два раза, учитывая, что коэффициенты , , , …, являются константами.
2.2.
Подставить выражение для
и двух ее производных в исходное
дифференциальное уравнение (3.4). После
сокращения на
произвести приведение подобных и
группировку слагаемых по степеням x.
2.3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного уравнения, перейти к системе уравнений относительно неизвестных коэффициентов , , , …, . Решить систему уравнений и записать частное решение в форме (3.7) с найденными значениями коэффициентов.
Задание 6. Найти общее решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.
Вариант 6.1 |
Вариант 6.2 |
Вариант 6.3 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
;
;
;
.
.
.
Вариант 6.4 |
Вариант 6.5 |
Вариант 6.6 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
;
;
;
.
.
.
Вариант 6.7 |
Вариант 6.8 |
Вариант 6.9 |
1.
|
1. |
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
;
;
;
.
.
.
Вариант 6.10 |
Вариант 6.11 |
Вариант 6.12 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
;
;
;
.
.
.
Вариант 6.13 |
Вариант 6.14 |
Вариант 6.15 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
;
;
;
.
.
.
Вариант 6.16 |
Вариант 6.17 |
Вариант 6.18 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
;
;
;
.
.
.
Вариант 6.19 |
Вариант 6.20 |
Вариант 6.21 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
;
;
;
.
.
.
Вариант 6.22 |
Вариант 6.23 |
Вариант 6.24 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
;
;
;
.
.
.
Вариант 6.25 |
Вариант 6.26 |
Вариант 6.27 |
1. ; |
1.
|
1.
|
2. . |
2.
|
2.
|
;
;
.
.
Вариант 6.28 |
Вариант 6.29 |
Вариант 6.30 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
;
;
;
.
.
.Решение типовых примеров
Пример 3.6. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
.
Решение.
1. Составим характеристическое уравнение
.
Дискриминант
.
Корни характеристического уравнения
– действительные и равные. Следовательно,
общее решение однородного уравнения,
соответствующего исходному, имеет вид
. (3.8)
2. В
правой части исходного неоднородного
уравнения имеется множитель
.
Число 0,
– не совпадает ни с одним из корней
характеристического уравнения,
следовательно r 0.
В
правой части также имеется множитель
следовательно, частное решение будет
содержать многочлен 2-го порядка с тремя
неизвестными коэффициентами
.
Укажем вид частного решения, подставляя известные параметры в шаблон (3.7)
.
3. Для определения неизвестных коэффициентов , , дважды продифференцируем полученную форму частного решения
,
.
Подставим
выражения для
,
,
в исходное дифференциальное уравнение.
После группировки по степеням x
получим следующее уравнение
,
от которого, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, можно перейти к следующей системе уравнений
