Статья: Магнитное поле кругового тока

Французские ученые Ж. Био и Ф. Савар изучали магнитные поля, создаваемые постоянными токами разной формы. Результаты их работы обобщил известный математик и физик П. Лаплас.

Применение закона Био – Савара – Лапласа к вычислению магнитного поля кругового тока

Закон Био-Савара–Лапласа описывает порождение магнитного поля током $I$ на элементе проводника длиной $dl$ в некоторой точке пространства ($\mu$ - магнитная проницаемость вещества в котором локализовано поле):

$d\vec{B}=\frac{\mu_{0}\mu }{4\pi }\frac{I\left[ d\vec{l}\vec{r}\right]}{r^{3}}\left( 1 \right)$

где $d \vec l ⃗$ - вектор, длина которого равна длине элемента проводника $dl$, направленный по току; $\vec r$ – радиус-вектор, который проведен от элемента $dl$ в точку, в которой исследуется магнитное поле. Поскольку в правой части формулы (1) находится векторное произведение, очевидно, что индукция элементарного магнитного поля будет направлена перпендикулярно плоскости, в которой находятся векторы $\vec r$ и $\vec l$ и при этом является касательной к силовой линии поля.

Величину вектора $\vec{dB}$ из выражения (1) найдем как:

$dB=\frac{\mu_{0}\mu }{4\pi }\frac{Idl\sin \alpha }{r^{2}}\left( 2 \right)$.

где $ \alpha $– угол между векторами $\vec r$ и $\vec l$ .

Конкретное направление $\vec{dB}$ находят по правилу буравчика (правилу правой руки):

Если правый винт вращать так, что его поступательное движение будет совпадать с направлением течения тока в избранном элементе, то вращение его головки укажет направление $\vec{dB}$.

Магнитные поля подчиняются принципу суперпозиции:

Суммарную магнитную индукцию поля, создаваемого несколькими источниками, находят как геометрическую сумму векторов магнитной индукции отдельных полей:

$\vec{B}=\sum\limits_{i=1}^N \vec{B}_{i} \left( 3 \right). $

Если распределение токов можно считать непрерывным, то принцип суперпозиции можно записать:

$\vec{B}=\int {d\vec{B}_{i}} \left( 4 \right).$

Вычисление магнитной индукции поля с применением закона Био-Савара-Лапласа довольно сложная процедура. Но при существовании определенной симметрии в распределении токов, используя, рассмотренный нами закон и принцип суперпозиции, рассчитать конкретные поля просто. В любом случае следует придерживаться следующей схемы действий:

1. Выделить на проводнике с током элементарный отрезок $dl$.
2. Записать для исследуемой точки поля закон Био – Савара – Лапласа.
3. Определить направление элементарного поля $\vec{dB}$ в избранной точке.
4. Воспользоваться принципом суперпозиции для магнитных полей (учесть, что суммируются векторы).

Магнитное поле кругового тока в его центре

Рисунок 1. Магнитное поле кругового тока в его центре.

Рассмотрим круговой проводник, по которому течет постоянный ток $I$ (рис.1). Выделим на этом проводнике элемент $dl$, который можно считать прямолинейным. Если перейти к другому элементу этого же тока, затем к третьему и так далее, применить правило правого винта, то очевидно, что все магнитные поля, созданные этими элементами в центре, направлены вдоль одной прямой, перпендикуляру к плоскости кольца. Это означает, применяя принцип суперпозиции, мы векторное сложение заменим алгебраическим.

Запишем закон Био-Савара-Лапласа для модуля вектора индукции поля, создаваемого элементом d$l_1$:

$dB=\frac{\mu_{0}\mu }{4\pi }\frac{Idl_{1}\sin \alpha }{r^{2}}\left( 5\right).$

Из рис.1 мы видим:

1. что расстояние от элементарного тока до центра витка равно его радиусу ($R$) и будет одинаковым для всех элементов на этом витке,
2. элемент $dl$ (как и все остальные элементы) будут нормальны к радиус-вектору $\vec r$.

Учитывая сказанное выражение (5) представим в виде:

$dB=\frac{\mu_{0}\mu }{4\pi }\frac{Idl_{1}}{R^{2}}\left( 6 \right)$.

Обезличивая витки с током, положим далее $dl_1=dl$.

Поскольку наш ток является непрерывным, то для нахождения полного поля в его центре, мы проинтегрируем (6), имеем:

$B=\oint\limits_L {dB=} \frac{\mu_{0}\mu }{4\pi}\frac{I}{R^{2}}\oint\limits_L {dl} =\frac{\mu_{0}\mu }{4\pi}\frac{I}{R^{2}}2\pi R\to$

$B=\mu_{0}\mu \frac{I}{2R}\left( 7 \right)$.

Индукция магнитного поля кругового тока на его оси

Найдем индукцию магнитного поля на оси кругового тока, если ток, текущий по нему равен $I$, радиус витка - $R$ (рис.2).

Рисунок 2. Индукция магнитного поля кругового тока на его оси.

Как основу для выполнения поставленной задачи возьмем закон Био-Савара-Лапласа (1), где из рис.2 мы видим, что:

• $\vec{r}=\vec{R}+\vec{h}$,

• $d\vec{l}\times \vec{r}=d\vec{l}\times \vec{R}+d\vec{l}\times \vec{h}(9).$

Используя принцип суперпозиции закон (1) для нашего тока и формулы (8-9) запишем:

$\vec{B}=\oint\limits_L {dB=}$$\frac{\mu \mu_{0}}{4\pi }I\oint\limits_L \frac{d\vec{l}\times\vec{r}}{r^{3}} $ $=\frac{\mu \mu_{0}}{4\pi }\frac{I}{r^{3}}\left( \oint\limits_L{d\vec{l}\times \vec{R}+} \oint\limits_L {d\vec{l}\times \vec{h}}\right)\left( 10 \right).$

В выражении (10) при записи интеграла, мы учли, что величина вектора $\vec{r}$ не изменяется. Кроме этого вектор $\vec h$, определяющий положение точки, в которой мы ищем поле, не изменяется при движении по нашему контуру, поэтому:

$\oint\limits_L {d\vec{l}\times \vec{h}} =(\oint\limits_L {d\vec{l})\times\vec{h}} =0\, \left( 11 \right),$

так как ( $\oint\limits_L {d\vec{l})=0.}$

Вычислим интеграл: $\oint\limits_L {d\vec{l}\times \vec{R}.}$ Введем единичный вектор ($\vec n$), нормальный к плоскости витка с током.

$\oint\limits_L {d\vec{l}\times \vec{R}=\oint\limits_L {\vec{n}Rdl=\vec{n}R}} \oint\limits_L {dl=\vec{n}R} 2\pi R=2\pi R^{2}\vec{n}\left( 12 \right)$.

Подставляем результаты интегрирования из (12) в (10), имеем:

$\vec{B}=\frac{\mu \mu_{0}}{4\pi }\frac{I}{r^{3}}2\pi R^{2}\vec{n}=\frac{\mu\mu_{0}I}{2}\frac{R^{2}}{\left( R^{2}+h^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\vec{n}\left( 13 \right)$

где при записи окончательного результата мы учли, что:

$r^{3}=\left( R^{2}+h^{2} \right)^{\frac{3}{2}}$.

Кольца Гельмгольца

Кольцами Гельмгольца считают пару проводников в виде колец одного радиуса, расположенных в параллельных плоскостях (рис.3) на одной оси. Расстояние между плоскостями колец равно их радиусу.

Рисунок 3. Кольца Гельмгольца.

Рассмотрим магнитное поле на оси этих колец.

Декартову систему координат разместим так, что ее начало совпадает с центром нижнего кольца с током. Ось Z нашей системы будет направлена по оси колец (рис.3).

Запишем индукцию магнитного поля в точке с координатой $z$ на оси колец. Используем формулу (13):

$B_{z}=\frac{\mu \mu_{0}I}{2}R^{2}\left[ \frac{1}{\left( R^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{\left[ \left( z-d \right)^{2}+R^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} \right]\left( 14\right)$.

Исследуем полученное поле. Считается, что магнитное поле на оси колец Гельмгольца на посередине между ними является однородным.

Неоднородность в первом приближении характеризуют первой производной:

$\frac{\partial B_{z}}{\partial z}=\frac{3\mu \mu_{0}I}{2}R^{2}\left[\frac{-z}{\left( R^{2}+z^{2} \right)^{\frac{5}{2}}}+\frac{z-d}{\left[ \left(z-d \right)^{2}+R^{2} \right]^{\frac{5}{2}}} \right]\left( 15 \right)$.

Если $z=\frac{d}{2}\quad$ , подставим в (15), имеем:

$\frac{\partial B_{z}}{\partial z}=0.$

Найдем $\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial z^{2}}:$

$\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial z^{2}}=\frac{3\mu \mu_{0}I}{2}R^{2}\left( \frac{5z^{2}}{\left( R^{2}+z^{2}\right)^{\frac{7}{2}}}-\frac{1}{\left( R^{2}+z^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}+\frac{5\left( z-d \right)^{2}}{\left[ \left( z-d \right)^{2}+R^{2} \right]^{\frac{7}{2}}}-\frac{1}{\left[ \left( z-d\right)^{2}+R^{2} \right]^{\frac{5}{2}}} \right)\left( 16 \right)$

По условию для колец Гельмгольца, имеем: $d=R.$

На середине их общей оси ($z=\frac{d}{2})$, получаем:

$\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial z^{2}}=0\, \left( 17 \right)$.

Равенство нулю второй производной от $B_z$ по координате $z$, показывает, что в на середине оси колец магнитное поле является однородным с высокой степенью точности.