Малый параметр в теории собственных колебаний и поверхностных волн
Д.С. Лысенко, Г.Э. Амеличев, А.К. Горбунов
Калужский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана, Калуга, 248000, Россия
Основной задачей сейсмологии является установление реальных скоростных разрезов для сейсмических волн, а также зависимостей механических параметров , и плотности от радиуса (т. е. глубины). До последнего времени в этом вопросе действовали так: производили расчеты для большого числа разрезов и останавливались на том, который наилучшим образом удовлетворяет всей совокупности геофизических данных. В настоящее время возможен новый подход, который может быть применен не только к задачам, решаемым методами сейсмологии, но и ко всем остальным геофизическим проблемам, когда мы располагаем достаточно хорошим нулевым приближением. Так, в случае Земли мы знаем, что истинная модель внутреннего строения должна слабо отличаться от любой из обсуждаемых достаточно реальных моделей Земли. Это позволяет нам действовать не методом перебора, а более рационально. Именно, можно на базе какой-либо реальной модели, выбранной за исходную, рассчитать таблицы, позволяющие переходить к любым близким моделям с помощью малого параметра. Он основан на том, что в силу малых давлений в недрах, вещество должно быть примерно однородно по своим механическим параметрам. При этом за нулевое приближение следует взять среднюю плотность и значение скоростей, характерных для кровли земной оболочки(Сs 4,6км/сек; Ср км/сек). Метод малого параметра позволяет не только улучшать исходную модель, но и рассмотреть вопрос о затухании собственных колебаний и поверхностных волн. Ниже этот метод будет проиллюстрирован на примере крутильных колебаний и волн Лява.
Введем сначала безразмерные переменные:
(1)
где и - некоторые нормирующие значения плотности и модуля сдвига. За и удобно принимать максимальные значения и в исходной модели; тогда и нигде не превосходят единицы. В безразмерных переменных система дифференциальных уравнений, определяющая крутильные колебания и волны Лява, принимает вид:
()
граничные условия для целиком твердой Луны:
при и при
а в случае твердой оболочки:
(3)
Идея метода такова. Пусть - собственные частоты крутильных колебаний, отвечающие распределению безразмерной плотности и безразмерному модулю сдвига в недрах Луны. При переходе к новому распределению:
(4)
получаются новые значения частот . При , легко рассчитать таблицы, связывающие с и ; при этом достаточно рассмотреть случай кусочно-постоянных механических параметров. Искомые формулы легко получить, варьируя параметры в системе уравнений (2). Для граничных условий (3) они имеют вид:
(5)
где - номер слоя, - полное число слоев в рассматриваемой модели твердой оболочки, а и обозначают частные производные:
(6)
и в (5) - значения постоянных добавок к и в каждом из слоев ( ) рассматриваемой модели.
Рассчитав таблицы производных , мы с помощью (5) можем определить изменение безразмерных частот при переходе к другой модели. Соответствующее изменение периодов будет:
(7)
Дисперсионная кривая для фазовой скорости волн Лява получается с помощью (7), а дисперсионная кривая для групповой скорости может быть определена как с помощью численного дифференцирования (10), так и с помощью интегральной формулы:
(8)
При переходе к новым моделям изменение фазовой и групповой скоростей равны:
(9)
(10)
В настоящее время таблицы производных и рассчитаны для Земли во всей области периодов, представляющей интерес. Эти таблицы могут быть использованы в области периодов, где можно пренебречь кривизной. При больших периодах, когда учет кривизны становится существенным, такие таблицы без труда могут быть рассчитаны с помощью уже имеющихся программ на электронных вычислительных машинах.
Метод малого параметра разработан как для радиальных колебаний, так и для сфероидальных. Если перейти к безразмерным переменным:
(11)
где чертой обозначены нормирующие величины. Если немного изменить свойства модели:
(12)
то добавок к безразмерной частоте :
(13)
может быть выражен через нулевые функции и безразмерные вариации с помощью следующей формулы:
(14)
(15)
сейсмология волна колебание скоростной
В жидких областях следует положить . В случае кусочно-постоянных моделей интегралы могут быть изменены на суммы, а сама формула примет вид, аналогичный (5). При и мы получим соответствующую формулу для радиальных колебаний, которая использовалась для объяснения аномального слабого затухания радиальных колебаний Земли. Интегральная формула для групповой скорости релеевских волн, аналогичная (8), имеет вид:
(16)
Список литературы
[1] «Собственные колебания Земли». Сборник статей, перев. с английского, М., 1996.