Математическое моделирование электромагнитоупругих свойств пьезоактивных композитов
А.А. Паньков
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Аннотация. Разработаны математические двухуровневые структурные модели электромагнитоупругости композитов с учетом связанностей деформационных, электрических и магнитных полей. Представлены результаты прогнозирования 21-й независимой константы эффективных трансверсально-изотропных пьезоэлектромагнитоупругих свойств однонаправленного волокнистого композита PVF/феррит на основе решения связанной краевой задачи электромагнитоупругости; использованы новые решения для сингулярных составляющих вторых производных функций Грина для однородной трансверсально-изотропной пьезоэлектромагнитной среды.
Ключевые слова: пьезокомпозит, краевая задача электромагнитоупругости, эффективные свойства.
Abstract. Mathematical two-level structural models of electromagnetoelasticity of composites taking into account coherences of deformation, electric and magnetic fields are developed. Results of prediction of the 21 independent constant of effective transversal-isotropic piezoelectromagnetoelastic properties of the unidirectional fibrous composite PVF/ferrite are presented on the basis of the solution of the boundary-value problem of electromagnetoelasticity; new decisions for singular components of the second derivative Green functions for homogeneous transversal-isotropic piezoelectromagnetoelastic medium are used.
Key words: piezocomposite, boundary-value problem of electromagnetoelasticity, effective properties.
Разработка новых пьезоактивных пироэлектромагнитных материалов и создание устройств на их основе _ активно развивающееся направление материаловедения [1, 2]; композиты находят применение в тех случаях, когда традиционные материалы: кристаллы, керамики, сплавы не обеспечивают необходимого комплекса физико-механических характеристик. Поведение и свойства пьезокомпозитов обуславливаются сложным взаимодействием посредством взаимосвязанных деформационных, электрических и магнитных полей большого числа образующих структуру материала элементов [3_7]. Возможность оптимизации и управления структурой композитов открывает путь создания новых пьезоматериалов с наперед заданными свойствами. В результате взаимодействия на микроуровне пьезоактивных элементов структуры на макроуровне композита возникают качественно новые эффекты по сравнению с однородными материалами, в частности, проявляются эффекты магнитоэлектрической, пироэлектрической и пиромагнитной связанностей, отсутствующие у входящих в композит однородных фаз [8_11].
Цель работы - изучение эффекта электромагнитной связанности и комплексный анализ эффективных трансверсально-изотропных пьезоэлектромагнитоупругих свойств однонаправленного волокнистого композита PVF/феррит с различными полидисперсными структурами [4, 7, 11].
1. Микро и макроуровни
Рассматриваем двухфазные пьезоактивные среды в представительной области , определяющие соотношения для фаз [1, 2, 5]
,
, (1)
,
математический моделирование электромагнитоупругий пьезоактивный
связывают напряжения , индукции электрического и магнитного полей с деформациями , напряженностями электрического и магнитного полей, температурой однородного внешнего нагрева через считающиеся известными для каждой фазы тензоры упругих свойств , пьезоэлектрических и пьезомагнитных свойств, диэлектрических и магнитных проницаемостей, температурных коэффициентов , пироэлектрических и пиромагнитных постоянных. Выполняются условия идеального контакта на межфазных поверхностях: непрерывность векторов перемещений, напряжений, индукций электрического и магнитного полей.
Тензоры , …, эффективных свойств входят в определяющие соотношения на макроуровне композита
,
, (2)
и связывают осредненные или макроскопические значения напряжений , деформаций , индукций , , напряженностей , электрического и магнитного полей соответственно; _ оператор осреднения по области структурных полей.
Ненулевые компоненты рассматриваемых трансверсально-изотропных тензоров , , , , , , и на структурном (1) и на макроуровне (2) композита можно наглядно представить в матричной форме записи
,
, ,
, ,
, ,
, , ,
где , тензорные и матричные индексы связаны между собой соотношениями: , , , и , и , и .
Обобщенное сингулярное приближение. Решение для тензоров эффективных упругих свойств , диэлектрической и магнитной проницаемостей, пьезомеханических свойств и , коэффициентов электромагнитной связи , и температурных напряжений , вектора эффективных пироэлектрических и пиромагнитных постоянных в определяющих соотношениях (2) на макроуровне композита в обобщенном сингулярном приближении [6, 7, 9]
,
,
,
,
, (3)
,
,
,
,
получим через поправки к соответствующим осредненным по области значениям: , …, , тензоры разностей: , ,…, ; _ относительное объемное содержание 1-й фазы в ; например, , где . Компоненты тензоров , , …, в (3) находим из решения систем алгебраических уравнений [7]
(4)
(5)
(6)
(7)
,
,
,
, (8)
,
,
,
,
правые части для 1-й системы уравнений (4)
,
, (9)
,
для 2-й и 3-й систем (5), (6)
,
, (10)
,
,
, (11)
,
и для 4-й системы (7)
,
, (12)
;
в (8) - (12) нижние индексы в круглых скобках обозначают [6] выделение симметричной составляющей по этой паре индексов, тензоры разностей
, ,…, . (13)
В формулы (8) _ (12) входит новое решение для матрицы тензоров сингулярных составляющих вторых производных функций Грина
, (14)
,
для однородной анизотропной пьезоэлектромагнитной «среды сравнения» [6], свойства которой заданы через тензоры: , , , , (13), функция Грина , _ дельта-функция Дирака, , в точке действует единичная объемная сила, или электрический или магнитный источник, _ оператор дифференцирования по координатам вектора . Компоненты матрицы в (14) вычисляются по формулам
, , ; ,
, ; , , ,
действует на компоненты тензоров
, , ,
, , , ,
, ,
в которых использованы обозначения
,
, ,
, , (15)
, , ,
и _ полярные углы в сферической системе координат, поверхность эллипсоидального «зерна неоднородности» [6] задана равенством
(16)
через значения главных полуосей в (9), - координаты вектора .
3. Волокнистый композит PVF/феррит. На рис.1 представлены результаты расчета эффективных коэффициентов электромагнитной связанности , и (3) трансверсально-изотропного волокнистого пьезоэлектромагнетика: пьезоэлектрическая матрица PVF [5, 12] с однонаправленными вдоль оси ферритовыми [5] волокнами (, , (16) с объемной долей . Расчет (рис.1) проведен в обобщенном сингулярном приближении (3) - (16) для четырех различных случаев выбора свойств среды сравнения (13), (15): в первом случае (), свойства среды сравнения приравнены свойствам 1-й фазы
, , , , , (17)
во втором случае () - свойствам 2-й фазы
, , , , , (18)
в третьем случае () - осредненным по области композита значениям
, , , , , (19)
и в четвертом случае () - искомым эффективным свойствам композита («схема самосогласования» [6])
, , , , , (20)
решения (), () инвариантны к инверсии свойств фаз.
Результаты расчета () и () для эффективных констант , (рис.1,а,б) в обобщенном сингулярном приближении в точности совпали с аналитическими решениями [8] для полидисперсных структур (рис.1,а', рис.1,б'); решение () по схеме самосогласования для в точности совпало с аналитическим решением [11] для полидисперсной структуры на рис.1,в'. Решения (), () при «малых» степенях наполнения близки к решению () для матричной по 2-й фазе структуре (рис.1,а') и при «больших» _ к решению () для матричной по 1-й фазе структуре (рис.1,б'). Отметим, что решение () также в точности совпало с решением асимптотического метода осреднения [8] для идеальной периодической волокнистой структуры. Дополнительно на рис.2 - рис.5 представлены результаты расчета в обобщенном сингулярном приближении эффективных констант: модулей Юнга , , коэффициентов Пуассона , , модулей сдвига , , объемного модуля плоской деформации (рис.2), электромеханических , , (рис.3) и магнитомеханических , , , (рис.4) констант, диэлектрических , и магнитных , проницаемостей (рис.5) волокнистого пьезоэлектромагнетика в зависимости от объемной доли феррита.
Рис.1 Эффективные коэффициенты электромагнитной связанности (а), (б) и (в) волокнистого пьезоэлектромагнетика с объемной доли феррита
Рис.2 Эффективные модули упругости: модули Юнга (а), (б), коэффициенты Пуассона (в), (г), модули сдвига (д), (е), объемный модуль плоской деформации (ж) пьезоэлектромагнетика с объемной долей феррита
Рис.3 Эффективные электромеханические константы (а), (б), (в) пьезоэлектромагнетика с объемной долей феррита
Рис.4 Эффективные магнитомеханические константы (а), (б), (в), (г) пьезоэлектромагнетика с объемной долей феррита
Рис.5 Эффективные диэлектрические (а), (б) и магнитных (в), (г) проницаемости пьезоэлектромагнетика с объемной долей феррита
Заключение
Разработаны новые математические двухуровневые структурные модели электромагнитоупругости композитов с учетом связанностей деформационных, электрических и магнитных полей. Получены решения связанных краевых задач электромагнитоупругости в обобщенном сингулярном приближении статистической механики композитов на основе новых решений для сингулярных составляющих вторых производных функций Грина для однородной трансверсально-изотропной пьезоэлектромагнитной среды с эллипсоидальным зерном неоднородности. Представлены результаты прогнозирования 21-й независимой константы эффективных трансверсально-изотропных упругих и пьезоэлектромагнитных свойств однонаправленного волокнистого композита: пьезоэлектрика PVF с ферритовыми волокнами в обобщенном сингулярном приближении решения связанной краевой задачи электромагнитоупругости. Выявлен существенно немонотонный характер изменения эффективных коэффициентов электромагнитной связанности композита PVF/феррит от величины наполнения волокнами; определены значения объемных долей волокон, при которых эти коэффициенты принимают экстремальные значения. Для частных случаев проведены сравнения с известными аналитическими решениями асимптотического метода осреднения [8] для идеальной периодической волокнистой структуры, решениями на составных ячейках и на основе «схемы самосогласования» для различных полидисперсных структур (рис.1, а' _ в') [4, 11].
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 14-01-96004 р_урал_а.
Литература
1. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применения в ультраакустике. _ М.: Изд-во иностр. лит., 1952. _ 448 с.
2. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. _ 471 с.
3. Волков С.Д. Статистическая механика композитных материалов / С.Д. Волков, В.П. Ставров. - Минск: Изд-во Белорус. гос. ун-та, 1978. - 208 с.
4. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. - М.: Мир, 1982. - 334 с.
5. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Лещенко П.В. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивных композитных материалов. - Киев: Наук. думка, 1989
6. Шеpмеpгоp Т.Д. Теоpия упpугости микpонеодноpодных сpед. _ М.: Наука, 1976. _ 399 с.
7. Паньков А.А. Статистическая механика пьезокомпозитов. _ Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. _ 480 с.
8. Гетман И.П. О магнитоэлектрическом эффекте в пьезокомпозитах // ДАН СССР. _ 1991. _ Т. 317. _ № 2. - С. 341-343
9. Паньков А.А. Влияние разупорядоченности и инверсии фаз на электромагнитную связанность пьезокомпозита с квазипериодической структурой // Журнал радиоэлектроники: электронный журнал. 2014. _ №1; URL: http://jre.cplire.ru/jre/jan14/12/text.pdf
10. Паньков А.А. Диэлектрическая релаксация в волокнистом композите полиэтилен/феррит // Журнал радиоэлектроники: электронный журнал. 2014. _ №2; URL: http://jre.cplire.ru/jre/feb14/1/text.pdf
11. Pan'kov A.A. Self-consistent solutions for electromagnetic coupling coefficients of fibrous piezocomposite // Composites: Mechanics, Computations, Applications. An International Journal. _ 2014. _ Vol. 5. _ No 1. _ P.77-88
12. Sessler G.M. Piezoelectricity in polyvinylidenefluoride // J. Acoust. Soc. Amer.. - 1981. - Vol. 70. - No 6. _ P.1596-1608