Материал: matmod
Л.4. Построение математической модели
3. Определяющие соотношения
уравнения математической модели
⇐
определяющие соотношения
⇐
постулаты содержательной модели
Постулаты могут иметь различное происхождение и различную
степень адекватности.
1.
Универсальные физические законы
; физические законы с
ограниченной областью действия, для которых возможность
применения следует из универсальных законов.
2.
Феноменологические законы
(достаточно хорошо эмпирически,
и отчасти теоретически, обоснованные законы с ограниченной
областью действия, также установленной эмпирически).
3.
Полуэмпирические соотношения
(получающиеся в результате
сочетания качественных соображений и обработки результатов
эксперимента или иной статистики).
4.
Чисто эмпирические соотношения
(получаемые с помощью
прямой обработки данных наблюдения или эксперимента).
2014
46 / 74
Л.4. Построение математической модели
4. Подобие объектов
Объекты (в том числе состояния, процессы) называются
подобными
,
если они отличаются только масштабами основных размерных
величин.
Пересчет всех характеристик объекта при переходе от него к
подобному объекту равносилен сохранению всех численных
значений величин и замене единиц измерения основных
размерных величин; при этом коэффициенты подобия по каждой
из этих основных величин, вообще говоря, различны.
Подобие двух объектов обеспечивается совпадением для них
основных безразмерных комбинаций (
критериев подобия
) из
заданных параметров объекта.
Критериев подобия должно быть
N
−
n
, где
N
– число
независимых существенных параметров объекта,
n
– число
основных размерностей.
2014
47 / 74
Л.4. Построение математической модели
Подобие объектов (примеры)
1. Подобие треугольников.
N
= 3
(стороны),
n
= 1
⇒
2 критерия подобия, например отношения
сторон
b
/
a
,
c
/
a
.
2. Математический маятник.
Параметры процесса: длина
ℓ
, масса
m
, ускорение
g
, максимальный
угол
ϕ
отклонения.
Размерности:
L
,
M
,
T
,
[
ℓ
] =
L
,
[
m
] =
M
,
[
g
] =
LT
−
2
,
[
ϕ
] = 1
Критерий подобия только 1:
N
−
n
= 4
−
3 = 1
. Это угол
ϕ
.
Величина
ω
2
ℓ/
g
безразмерна
⇒
ω
2
ℓ/
g
=
f
(
ϕ
)
⇒
ω
=
c
ϕ
p
g
/ℓ
2014
48 / 74
Л.4. Построение математической модели
5. Конечные уравнения
Конечное уравнение
(алгебраическое или трансцендент- ное, т.е.
неалгебраическое) после переноса всех его членов в левую часть имеет
общий вид
f
(
x
) = 0
,
где
f
– скалярная функция скалярного аргумента; сис- тема конечных
уравнений с несколькими неизвестными:
f
k
(
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
n
) = 0
,
k
= 1
,
2
, . . . ,
n
Если имеется в виду точное решение такой системы, то надо следить
за тем, чтобы уравнений было столько же, сколько неизвестных, и
чтобы эти уравнения были независимыми.
Для линейных систем необходимо следить, чтобы система не
была
плохо обусловлена
!
Пример:
1
.
756
x
+ 2
.
315
y
= 4
.
726
,
1
.
261
x
+ 1
.
162
y
= 3
.
393
,
∆ =
−
0
.
000743
2014
49 / 74
Л.4. Построение математической модели
Конечные уравнения:
метод продолжения решения по параметру
Если система конечных уравнений включает
t
параметр и ее решение
при некотором значении параметра
t
=
t
0
известно,
f
(
x
,
y
,
t
) = 0
,
g
(
x
,
y
,
t
) = 0
,
пусть при
t
=
t
0
:
x
=
x
0
,
y
=
y
0
. Продифференцируем уравнения по
t
,
считая
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
:
f
′
x
(
x
,
y
,
t
)
dx
dt
+
f
′
y
(
x
,
y
,
t
)
dy
dt
=
−
f
′
t
(
x
,
y
,
t
)
,
g
′
x
(
x
,
y
,
t
)
dx
dt
+
g
′
y
(
x
,
y
,
t
)
dy
dt
=
−
g
′
t
(
x
,
y
,
t
)
.
Мы приходим к системе двух обыкновенных дифференциальных
уравнений относительно функций
x
(
t
)
,
y
(
t
)
.
2014
50 / 74