Материал: matmod
Л.2. Типы математических моделей
Аналогичная процедура
осреднения
происходит при переходе
от среды, состоящей из отдельных частиц к сплошной среде,
параметры которой (плотность, температура и т. п.) распределены
по пространству;
от поезда с дискретными вагонами к его непрерывной модели;
от воздействия на систему, имеющего характер частых
подталкиваний, к непрерывно действующей силе и т. д.
Осреднение применяется не только для перехода от дискретной
модели к непрерывной, но также и
для упрощения быстро
колеблющихся зависимостей в непрерывных моделях
.
2014
26 / 74
Л.2. Типы математических моделей
Внесение возможных неадекватностей при переходе дискретная
↔
непрерывная модель
(Пример 3).
Пример 3. Продольные свободные упругие колебания прямолинейного
однородного стержня.
u
=
u
(
x
,
t
)
– смещение в момент
t
сечения с координатой ,
отсчитываемой вдоль стержня.
∂
2
u
∂
t
2
=
a
2
∂
2
u
∂
x
2
,
a
2
=
E
/ρ
Заменим непрерывную модель на дискретную: последовательность с
шагом
h
материальных точек массы
m
=
ρ
Sh
, соединенных
пружинами нулевой массы и жесткости
k
=
SE
/
h
.
2014
27 / 74
Л.2. Типы математических моделей
Пример 3 (продолжение).
u
i
(
t
)
– смещение
i
-й точки.
Из второго закона Ньютона получаем систему ОДУ:
m
d
2
u
i
dt
2
=
k
(
u
i
+1
−
u
i
)
−
k
(
u
i
−
u
i
−
1
)
или
d
2
u
i
dt
2
=
a
2
u
i
+1
−
2
u
i
+
u
i
−
1
h
2
Замечание:
∂
2
u
/∂
x
2
(непр. мод.)
→
симметричная разделенная
разность второго порядка.
2014
28 / 74
Л.2. Типы математических моделей
Пример 3 (продолжение).
Обратный переход от дискретной модели к непрерывной:
u
i
+1
=
u
(
x
i
,
t
)
,
u
i
±
1
=
u
(
x
i
±
h
,
t
) =
u
(
x
i
,
t
)
±
hu
′
x
(
x
i
,
t
) +
h
2
2
u
′′
xx
(
x
i
,
t
) +
. . .
u
i
+1
−
2
u
i
+
u
i
−
1
h
2
→
u
′′
xx
(
x
i
,
t
) +
O
(
h
) (
h
→
0)
.
Решение системы ОДУ (дискретная модель) при малом
h
хорошо
имитирует решение уравнения частных производных.
Проверка выполнения в модели математических аналогов
фундаментальных физических законов (например, закон
сохранения энергии) является важным этапом контроля
качественной адекватности модели.
2014
29 / 74
Л.2. Типы математических моделей
Пример 3 (продолжение).
Проверка закона сохранения энергии
E
для стержня конечной длины
ℓ
,
жестко закрепленного на концах (
u
|
x
=0
,ℓ
= 0
,
u
′
t
|
x
=0
,ℓ
= 0
).
Непрерывная модель.
E
=
1
2
Z
ℓ
0
ρ
(
u
′
t
)
2
dx
+
1
2
Z
ℓ
0
E
(
u
′
x
)
2
dx
=
ρ
2
Z
ℓ
0
h
(
u
′
t
)
2
+
a
2
(
u
′
x
)
2
i
dx
Дифференцируем по параметру (
t
):
∂
E
∂
t
=
ρ
2
Z
ℓ
0
h
2
u
′
t
u
′′
tt
+ 2
a
2
u
′
x
u
′′
xt
i
dx
Используя уравнение
u
′′
tt
=
a
2
u
′′
xx
, получим
∂
E
∂
t
=
ρ
a
2
Z
ℓ
0
h
u
′
t
u
′′
xx
+
u
′
x
u
′′
xt
i
dx
=
E
Z
ℓ
0
∂
∂
x
u
′
x
u
′
t
dx
=
E u
′
x
u
′
t
ℓ
0
= 0
2014
30 / 74