Материал: Могилев А.В. Информатика
576
Итак, укрупненная классификация абстрактных (идеальных) моделей такова.
1.
Вербальные (текстовые) модели.
Эти модели используют последовательности предло-
жений на формализованных диалектах естественного языка для описания той или иной области
действительности (примерами такого рода моделей являются милицейский протокол, правила до-
рожного движения).
2.
Математические модели
- очень широкий класс знаковых моделей (основанных на
формальных языках над конечными алфавитами), широко использующих те или иные математи-
ческие методы. Например, можно рассмотреть математическую модель звезды. Эта модель будет
представлять собой сложную
систему уравнений, описывающих физические процессы, происхо-
дящие в недрах звезды. Математической моделью другого рода являются, например, математиче-
ские соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный (наилучший с экономической точки
зрения) план работы какого-либо предприятия.
3.
Информационные модели
- класс знаковых моделей, описывающих информационные
процессы (возникновение, передачу, преобразование и использование информации) в системах
самой разнообразной природы.
Граница между вербальными, математическими и информационными моделями может
быть проведена весьма условно; вполне возможно считать информационные модели подклассом
математических моделей. Однако, в рамках информатики как самостоятельной науки, отделенной
от математики, физики, лингвистики и других наук, выделение информационных моделей в от-
дельный класс является целесообразным.
Отметим, что существуют и иные подходы к классификации абстрактных моделей; обще-
принятая точка зрения здесь еще не установилась. В частности, есть тенденция резкого расшире-
ния содержания понятия «информационная модель». при котором информационное моделирова-
ние включает в себя и вербальные, и математические модели.
Основное содержание данной главы связано с прикладными математическими моделями, в
реализации которых используются компьютеры. Это вызвано тем, что внутри информатики имен-
но компьютерное математическое и компьютерное информационное моделирование могут рас-
сматриваться как ее составные части. Компьютерное математическое моделирование связано с
информатикой технологически; использование компьютеров и соответствующих технологий об-
работки информации стало неотъемлемой и необходимой стороной работы физика, инженера,
экономиста, эколога, проектировщика ЭВМ и т.д. Неформализованные вербальные модели не
имеют столь явно выраженной привязки к информатике - ни в принципиальном, ни в технологиче-
ском аспектах.
§2. ПОНЯТИЕ О КОМПЬЮТЕРНОМ
МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
2.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОМПЬЮТЕРЫ
Математическая модель выражает существенные черты-объекта или процесса языком урав-
нений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим су-
ществованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом
языке закономерности окружающего мира.
Путь математического моделирования в наше время гораздо более всеобъемлющ, нежели
моделирования натурного. Огромный толчок развитию математического моделирования дало по-
явление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад.
Математическое моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной под-
держки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием,
делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е.
представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные)
обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения
сложных математических задач, однако, очень ограниченны и, как правило, эти методы гораздо
сложнее численных. В данной главе доминируют численные методы, реализуемые на компьюте-
рах. Это связано с тем, что моделирование здесь рассматривается под углом зрения компьютерных
(информационных) технологий. Такой подход несколько сужает возможности метода в целом; его
577
достоинство - некоторое снижение барьера необходимой математической подготовки (хотя, разу-
меется, и в численные методы при профессиональном занятии математическим моделированием
приходится углубляться настолько, что при этом требуется значительное математическое образо-
вание). Наконец, отметим, что понятия «аналитическое решение» и «компьютерное решение» от-
нюдь не противостоят друг другу, так как
а) все чаще компьютеры при математическом моделировании используются не только для
численных расчетов, но и для аналитических преобразований;
б) результат аналитического исследования математической модели часто выражен столь
сложной формулой, что при взгляде на нее не складывается восприятия описываемого ей процес-
са. Эту формулу (хорошо еще, если просто формулу!) нужно протабулировать, представить гра-
фически, проиллюстрировать в динамике, иногда даже озвучить, т.е. проделать то, что называется
«визуализацией абстракций» . При этом компьютер - незаменимое техническое средство.
2.2. ЭТАПЫ И ЦЕЛИ КОМПЬЮТЕРНОГО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Здесь мы рассмотрим процесс компьютерного математического моделирования, включаю-
щий численный эксперимент с моделью (рис. 7.1).
Первый этап - определение целей моделирования. Основные из них таковы:
1) модель нужна для того, чтобы понять как устроен конкретный объект, какова его струк-
тура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (
понимание
);
2) модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и опреде-
лить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (
управление
);
3) модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реали-
зации заданных способов и форм воздействия на объект (
прогнозирование
).
Поясним это на примерах. Пусть объект исследования - взаимодействие потока жидкости
или газа с телом, являющимся для этого потока препятствием. Опыт показывает, что сила сопро-
тивления потоку со стороны тела растет с ростом скорости потока, но при некоторой достаточно
высокой скорости эта сила скачком уменьшается с тем, чтобы с дальнейшим увеличением скоро-
сти снова возрасти. Что же произошло, обусловив уменьшение силы сопротивления? Математиче-
ское моделирование позволяет получить четкий ответ: в момент скачкообразного уменьшения со-
противления вихри, образующиеся в потоке жидкости или газа позади обтекаемого тела, начинают
отрываться от него и уноситься потоком.
Пример совсем из другой области: мирно сосуществовавшие со стабильными численностя-
ми популяции двух видов особей, имеющих общую кормовую базу, «вдруг» начинают резко ме-
нять численность - и здесь математическое моделирование позволяет (с известной долен досто-
верности) установить причину (или, по крайней мере, опровергнуть определенную гипотезу).
578
Рис. 7.1.
Общая схема процесса компьютерного математического моделирования
Выработка концепции управления объектом -другая возможная цель моделирования. Какой
режим полета самолета выбрать для того, чтобы полет был вполне безопасным и экономически
наиболее выгодным? Как составить график выполнения сотен видов работ на строительстве боль-
шого объекта, чтобы оно закончилось в максимально короткий срок? Множество таких проблем
систематически возникает перед экономистами, конструкторами, учеными.
Наконец, прогнозирование последствий тех или иных воздействий на объект может быть
как относительно простым делом в несложных физических системах, так и чрезвычайно сложным
- на грани выполнимости - в системах биолого-экономических, социальных. Если относительно
легко ответить на вопрос об изменении режима распространения тепла в тонком стержне при из-
менениях в составляющем его сплаве, то несравненно труднее проследить (предсказать) экологи-
ческие и климатические последствия строительства крупной ГЭС или социальные последствия
изменений налогового законодательства. Возможно, и здесь методы математического моделиро-
вания будут оказывать в будущем более значительною помощь.
Составим список величин, от которых зависит поведение объекта или ход процесса, а также
тех величин, которые желательно получить в результате моделирования. Обозначим первые
(входные) величины через
х
1
, x
2
, ....
х
n
; вторые (выходные) через
y
1
,y
2
, … ,y
k
.
Символически пове-
дение объекта или процесса можно представить в виде
у
j
= F
j
(x
1
, х
2
,....x
n
) (j
=1,2,...,
k
),
(7.1)
где
F
j
-
те действия, которые следует произвести над входными параметрами, чтобы полу-
чить результаты. Хотя запись
F (x
1
,
x
2
, ...,
х
n
)
напоминает о функции, мы здесь используем ее в бо-
лее широком смысле. Лишь в простейших ситуациях
F(x)
есть функция в том смысле, который
вкладывается в это понятие в учебниках математики; чтобы это подчеркнуть, лучше использовать
по отношению к
F(x)
термин «оператор».
Входные параметры
x
i
могут быть известны «точно», т.е. поддаваться (по крайней мере, в
принципе) измерению однозначно и с любой степенью точности - тогда они являются детермини-
рованными величинами. Так, в классической механике, сколь сложной ни была бы моделируемая
система, входные параметры детерминированы - соответственно, детерминирован, однозначно
развивается во времени процесс эволюции такой системы. Однако, в природе и обществе гораздо
чаще встречаются процессы иного рода, когда значения входных параметров известны лишь с оп-
ределенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются вероятностными (стохастически-
ми), и, соответственно, таким же является процесс эволюции системы (случайный процесс).
«Случайный» - не значит «непредсказуемый»; просто характер исследования, задаваемых
вопросов резко меняется (они приобретают вид «С какой вероятностью...», «С каким математиче-
579
ским ожиданием...» и т.п.). Примеров случайных процессов не счесть как в науке, так и в обыден-
ной жизни (силы, действующие на летящий самолет в ветренную погоду, переход улицы при
большом потоке транспорта и т.д.).
Для стохастической модели выходные параметры могут быть как величинами вероятност-
ными, так и однозначно определяемыми. Пример последнего: на перекрестке улиц можно ожидать
зеленого сигнала светофора и полминуты, и две минуты (с разной вероятностью), но среднее вре-
мя ожидания есть величина вполне определенная, и именно она может быть объектом моделиро-
вания.
Важнейшим этапом моделирования является разделение входных параметров по степени
важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием (разде-
лением по рангам). Чаще всего невозможно (да и не нужно) учитывать все факторы, которые мо-
гут повлиять на значения интересующих нас величин
y
j
.
От того, насколько умело выделены важ-
нейшие факторы, зависит успех моделирования, быстрота и эффективное гь достижения цели.
Выделить более важные (или, как говорят, значимые) факторы и отсеять менее важные может
лишь специалист в той предметной области, к которой относится модель. Так, опытный учитель
знает, что на успех контрольной работы влияет степень знания предмета и психологический на-
строй класса; однако, влияют и другие факторы - например, каким уроком по счету идет кон-
трольная, какова в этот момент погода и т.д. -фактически проведено ранжирование.
Отбрасывание (по крайней мере при первом подходе) менее значимых факторов огрубляет
объект моделирования и способствует пониманию его главных свойств и закономерностей. Умело
ранжированная модель должна быть адекватна исходному объекту или процессу в отношении це-
лей моделирования. Обычно определить адекватна ли модель можно только в процессе экспери-
ментов с ней, анализа результатов.
На рис. 7.2 проиллюстрированы две крайние ситуации: а) некоторый параметр
х,
очень
сильно влияет на результирующую величину
y
j
,
б) почти не влияет на нее. Ясно, что если все
представляющие интерес величины
у
j
реагируют на
х
i
так, как изображено на рис. 7.2,
б,
то
х
i
явля-
ется параметром, который при первом подходе может быть из модели исключен; если же хотя бы
одна из величин
у
j
реагирует на изменение
x
i
так, как изображено на рис. 7.2,
а,
то
х
i
нельзя исклю-
чать из числа важнейших параметров.
Следующий этап - поиск математического описания. На этом этапе необходимо перейти от
абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое напол-
нение. В этот момент модель предстает перед нами в виде уравнения, системы уравнений, систе-
мы неравенств, дифференциального уравнения или системы таких уравнений и т.д.
Рис. 7.2.
Варианты степени влияния величины
х,
на результирующую величину
y
i
Когда математическая модель сформулирована, выбираем метод ее исследования. Как пра-
вило, для решения одной и той же задачи есть несколько конкретных методов, различающихся
эффективностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего про-
цесса.
Разработка алгоритма и составление программы для ЭВМ - это творческий и трудно фор-
мализуемый процесс. В настоящее время при компьютерном математическом моделировании наи-
более распространенными являются приемы процедурно-ориентированного (структурного) про-
580
граммирования, описанные в главе 3. Из языков программирования многие профессионалы-
физики, например, до сих пор предпочитают FORTRAN как в силу традиций, так и в силу непре-
взойденной эффективности компиляторов (для расчетных работ) и наличия написанных на нем
огромных, тщательно отлаженных и оптимизированных библиотек стандартных программ мате-
матической ориентации. В ходу и такие языки, как PASCAL, BASIC, С - в зависимости от харак-
тера задачи и склонностей программиста.
После составления программы решаем с ее помощью простейшую тестовую задачу (жела-
тельно, с заранее известным ответом) с целью устранения грубых ошибок. Это -лишь начало про-
цедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом. По сущест-
ву, тестирование может продолжаться долго и закончиться тогда, когда пользователь по своим
профессиональным признакам сочтет программу верной. Программистский фольклор полон исто-
рий об ошибках на этом пути.
Затем следует собственно численный эксперимент, и выясняется, соответствует ли модель
реальному объекту (процессу). Модель адекватна реальному процессу, если некоторые характери-
стики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментальными с заданной степенью точ-
ности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыду-
щих этапов.
2.3. КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
К классификации математических моделей разные авторы подходят по-своему, положив в
основу классификации различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук
(математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.) - это естественно, если к этому
подходит специалист в какой-то одной науке. Можно классифицировать по применяемому мате-
матическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных
уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дис-
кретных алгебраических преобразований и т.д.) - это естественно для математика, занимающегося
аппаратом математического моделирования. Наконец, человек, интересующийся общими законо-
мерностями моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, ста-
вящий на первое место цели моделирования, скорее всего заинтересуется такой классификацией:
• дескриптивные (описательные) модели;
• оптимизационные модели;
• многокритериальные модели;
• игровые модели;
• имитационные модели.
Остановимся на этом чуть подробнее и поясним на примерах. Моделируя движение коме-
ты, вторгшейся в Солнечную систему, мы описываем (предсказываем) траекторию ее полета, рас-
стояние, на котором она пройдет от Земли и т. д. , т. е. ставим чисто описательные цели. У нас нет
никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то изменить.
На другом уровне процессов мы можем воздействовать на них, пытаясь добиться какой-то
цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных нашему влия-
нию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, мы можем стремиться подобрать та-
кой, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т. е. оптимизируем процесс.
Часто приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам сразу, причем цели
могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в
пище, организовать питание больших групп людей (в армии, летнем лагере и др.) как можно по-
лезнее и как можно дешевле. Ясно, что эти цели, вообще говоря, совсем не совпадают, т.е. при мо-
делировании будет несколько критериев, между которыми надо искать баланс.
Игровые модели могут иметь отношение не только к детским играм (в том числе и компью-
терным), но и к вещам весьма серьезным. Например, полководец перед сражением в условиях на-
личия неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке
вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специ-
альный достаточно сложный раздел современной математики - теория игр, - изучающий методы
принятия решений в условиях неполной информации.
Наконец, бывает, что модель в большой мере подражает реальному процессу, т.е. имитиру-