1
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СОСТАВНЫХ ЧИСЕЛ В НАТУРАЛЬНОМ РЯДУ
В.И. Гончаров
В данной статье рассматривается задача о распределении составных чисел в натуральном ряду. В теории чисел частный метод решения этой задачи был применен для доказательства следующей теоремы: «Как бы велико ни было целое число , в натуральном ряду можно найти k составных чисел, непосредственно следующих друг за другом» ([1], c.31).
Этой теоремой было подтверждено, что разность между соседними простыми числами может быть сколь угодно большой, и косвенно показано, что простые числа составляют небольшую часть всех натуральных чисел.
В статье приведен обобщенный метод решения задачи, который дает критерий для систематического присвоения натуральным числам признака «составное»; даны определения понятий: экстентов натурального ряда, сопряженных экстентов и чисел Чебышева; сформулированы и доказаны две теоремы, устанавливающие однозначное соответствие между числами Чебышева и сопряженными экстентами натурального ряда; дано определение функции и приведена формула для вычисления значений этой функции.
Библиография: 2 наименования.
В статье приняты следующие обозначения: множество натуральных чисел; упорядоченное множество простых чисел; простое число с порядковым номером ; мощность множества .
Приведем формулировки теорем теории чисел, утверждения которых используются для доказательства теорем данной статьи.
Теорема 1 (Евклид) ([1], с.31). Множество простых чисел бесконечно.
В бесконечном множестве возможно взаимно-однозначное отображение множества на подмножество . Тогда согласно определению ([2], с. 62) множество ростых чисел , равномощное множеству , является счетным.
Теорема 2 ([1], с.31). Если натуральное число не делится ни на одно простое число, не превосходящее , то оно простое.
Следствие теоремы 2 ([1], с.32). Если число делится хотя бы на одно простое число, меньшее или равное , оно является составным.
Следствие определяет множество простых чисел, которому должны принадлежать наименьшие простые делители всех составных чисел, не превышающих число n.
Теорема 2 и следствие устанавливают критерии, которые дают возможность присвоить каждому натуральному числу признак «простое» или «составное».
Приведем определения и основные обозначения, используемые для формулировки и доказательства теорем.
Определение 1 ([1], с.315). Функция называется числовой, если она определена при всех натуральных значениях аргумента.
В частности, в теории чисел для исследований используются числовые функции, для которых натуральные значения аргумента являются характерными точками, определяющими значение функции и в других точках. задача натуральный число теорема
Определение 2 ([2], с. 57). Отрезком натурального ряда с концами для любых натуральных чисел называют множество и обозначают символом ; в частности, при отрезок называют начальным отрезком натурального ряда.
Определение 3. Последовательность чисел , определенная рекуррентным соотношением
, (1)
и начальным условием
, (2)
называется числами Чебышева.
Соотношение (1) вместе с начальным условием (2) однозначно определяет значения чисел
Чебышева для заданного множества . В качестве примера приведем значения первых чисел
Чебышева .
В бесконечном множестве возможно взаимно-однозначное отображение множества на подмножество . Следовательно, множество , равномощное ножеству , является счетным.
Числа Чебышева тесно связаны с числовой функцией Чебышева ([1], с.337)
где сумма берется по всем простым числам, не превосходящим x. Областью определения функции является отрезок . Условно принято .
Для функции Чебышева характерными точками, определяющими значения функции и в других точках, являются не натуральные значения аргумента , а значения простых чисел.
Чтобы подчеркнуть связь чисел Чебышева с функцией , приведем некоторые свойства этой функции: функция имеет бесконечное множество разрывов первого рода в точках слева; значения функции в точках равны: ; значения функции в точках слева равны: ; скачки функции в точках равны: ; в частичных промежутках функция сохраняет постоянные значения, равные .
Определение 4. Множества натуральных чисел
называются экстентами натурального ряда.
В частности, согласно определению принято . Каждому элементу множества может быть присвоен признак «составное число». В дальнейшем каждое подмножество непосредственно следующих друг за другом составных чисел множества будет также называться экстентом.
В бесконечном множестве возможно взаимно-однозначное отображение множества на систему множеств . Следовательно, система множеств , равномощная множеству , является счетной.
Теорема 3. Каждому числу Чебышева однозначно соответствует экстент натурального ряда .
Доказательство. По условиям теоремы для фиксированного числа Чебышева каждый элемент определяется соотношением
.
Множество не содержит 1 и может быть разбито на два непересекающихся множества
,
где множество простых чисел,
множество составных чисел.
Пусть . Не теряя общности, предположим . Тогда
. (3)
Элемент множества является составным числом, так как оба сомножителя в (3) - целые положительные числа, не равные 1.
Пусть . Каждое составное число может быть представлено в виде
где наименьший простой делитель составного числа .
На основании следствия теоремы 2 наименьшие простые делители составных чисел должны удовлетворять неравенству
. (4)
Допустим, что неравенству (4) удовлетворяет следующее множество простых чисел
,
где .
Не теряя общности, предположим . Тогда
. (5)
Элемент множества является составным числом, так как оба сомножителя в (5) - целые положительные числа, не равные 1.
Теорема доказана.
Теорема 4. Каждому числу Чебышева однозначно соответствует экстент натурального ряда .
Доказательство. По условиям теоремы для фиксированного числа Чебышева каждый элемент определяется соотношением
.
При этом для каждого числа Чебышева справедливо следующее неравенство
.
Множество D не содержит 1 и может быть разбито на два непересекающихся множества
,
где множество простых чисел,
Пусть . Не теряя общности, предположим . Тогда
, (6)
где .
Элемент множества является составным числом, так как оба сомножителя в (6) - целые положительные числа, не равные 1.
Пусть . Каждое составное число может быть представлено в виде
где наименьший простой делитель составного числа .
На основании следствия теоремы 2 наименьшие простые делители составных чисел должны удовлетворять неравенству
. (7)
Допустим, что неравенству (7) удовлетворяет следующее множество простых чисел
,
где .
Не теряя общности, предположим .
Тогда
, (8)
где .
Элемент множества является составным числом, так как оба сомножителя в (8) - целые положительные числа, не равные 1.
Теорема доказана.
Таким образом, каждому числу Чебышева однозначно соответствуют два экстента натурального ряда
Определение 5. Два экстента натурального ряда
однозначно соответствующих каждому фиксированному числу Чебышева , называются сопряженными; сами числа Чебышева базами сопряженных экстентов.
Следует отметить, что свойствами чисел Чебышева «быть базами сопряженных экстентов», установленными в теоремах 3 и 4, обладают элементы следующих множеств:
. (9)
Замечание: для каждому элементу множества однозначно соответствует согласно теореме 3 один экстент .
Для характеристики распределения составных чисел в натуральном ряду дадим определение числовой функции .
Определение 6. Обозначим через функцию, выражающую число составных чисел, меньших или равных x.
Применим числа Чебышева для задания функции аналитическим выражением или формулой, позволяющей вычислять точные значения этой функции.
Теорема 5. Пусть для дано множество простых чисел
где ;
множество составных чисел, которые не могут иметь больше двух простых делителей ;
множество составных чисел, которые не могут иметь больше трех простых делителей ;
множество составных чисел, которые не могут иметь больше четырех простых делителей ;
множество составных чисел, которые не могут иметь больше пяти простых делителей ;
множество составных чисел, которые не могут иметь больше простых делителей .
Доказательство. Первое слагаемое формулы (10) определяет число экстентов, принадлежащих отрезку , которые соответствуют элементам множества . Согласно теореме 3 каждый из этих экстентов содержит по одному составному числу которое имеет в качестве наименьшего простого делителя 2. Следовательно, первое слагаемое определяет мощность множества этих составных чисел, принадлежащих отрезку .
Второе слагаемое формулы (10) определяет число экстентов, принадлежащих отрезку , которые соответствуют элементам множества . Согласно теореме 3 указанные экстенты содержат по три составных числа
Число составных чисел учтено в первом слагаемом формулы (10).
Составные числа имеют в качестве наименьшего простого делителя 3. Следовательно, второе слагаемое определяет мощность множества этих составных чисел, принадлежащих
Третье слагаемое формулы (10) определяет число экстентов, принадлежащих отрезку , которые соответствуют элементам множества . Согласно теореме 3 указанные экстенты содержат по пять составных чисел
Число составных чисел учтено в первом и втором слагаемых формулы (10).
Составные числа имеют в качестве наименьшего простого делителя 5. Следовательно, третье слагаемое определяет мощность множества этих составных чисел, принадлежащих отрезку .
Четвертое слагаемое формулы (10) определяет число экстентов, принадлежащих отрезку , которые соответствуют элементам множества . Согласно теореме 4 указанные экстенты содержат по пять составных чисел
Число составных чисел учтено первом и втором слагаемых формулы (10).
Составные числа имеют в качестве наименьшего простого делителя 5. Следовательно, четвертое слагаемое определяет мощность множества этих составных чисел, принадлежащих отрезку .
Следует отметить, что рассмотренные множества составных чисел не пересекаются.
Таким образом, первое, второе, третье и четвертое слагаемые формулы (10) определяют мощности отмеченных множеств составных чисел, принадлежащих отрезку , которые в качестве наименьшего простого делителя имеют 2, 3 или 5.
Остальные слагаемые формулы (10) определяют число составных чисел, принадлежащих отрезку , которые имеют в качестве делителей простые числа, равные или больше 7.
Если , то .
Множество содержит все составные числа вида , где, поскольку , для этих двух простых множителей имеем:
Например, множество может содержать следующие составные числа: 77, 711, 713, 717, , 1111, 1113, 1117, , 1313, 1317, 1319, . Если .
Процесс последовательного расчета мощности множества заканчивается, если .
Множество содержит все составные числа вида , где, поскольку , для этих трех простых множителей имеем:
.
Например, множество может содержать следующие составные числа: 777, 7711, 7713, 7717, , 71111, 71113, 71117, ,71313, 71317, 71319, , 111111, 111113, 111117, , 131313, 131317, 131319, . Если .
Процесс последовательного расчета мощности множества заканчивается, если .
Множество содержит все составные числа вида , где, поскольку , для этих четырех простых множителей имеем:
.
Например, множество может содержать следующие составные числа: 7777, 77711,
Процесс последовательного расчета мощности множества заканчивается, если .
Множество содержит все составные числа вида , , где, поскольку , для этих пяти простых множителей имеем:
.
Например, множество может содержать следующие составные числа:
Если . Процесс последовательного расчета мощности множества заканчивается, если .
Множество содержит все составные числа вида , где, поскольку , для этих простых множителей имеем:
. Если .
Процесс последовательного расчета мощности множества заканчивается, если .
Следует отметить, что множества не пересекаются.
Рассмотренные множества содержат на отрезке все составные числа, которые имеют в качестве делителей простые числа, равные или больше 7.
Все указанные простые числа заданы множеством (см. условия теоремы 5).
Легко проверить, что составные числа вида , которые имеют более простых множителей, не принадлежат отрезку .
Таким образом, множества составных чисел, перечисленные в формуле (10), не пересекаются; их мощности в сумме равны числу составных чисел, принадлежащих отрезку [0, x].
Теорема доказана.
Литература
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1966. -С. 384