. (14)
Это и есть математическая модель 3-го ЗАКОНА механодинамики. Он гласит: замедленное движение твёрдого тела управляется превышением сил сопротивления движению над силой инерции.
Если выключить коробку передач автомобиля, то активная сила исчезнет (рис. 3, b) и останутся две противоположно направленные силы: сила инерции и сумма сил механических сопротивлений движению (рис. 4, b). Поскольку сила инерции не имеет источника, поддерживающего её в постоянном состоянии, то она оказывается меньше сил сопротивления движению () и автомобиль, начиная двигаться замедленно (рис. 4, b), останавливается (рис. 4, a, точка С). С учётом этого есть основания назвать силу инерции пассивной силой, которая не может генерировать ускорение, так как сама является следствием его появления.
Теперь мы можем успокоить пилотов. Равномерный полёт их самолёта описывает новый второй закон механодинамики (12). Согласно этому закону сумма сил, действующих на равномерно летящий самолет, не равна нулю (13). Сила, движущая самолёт равномерно, является силой инерции, которая была направлена противоположно его движению, когда он двигался ускоренно (взлетал). Как только самолет начинает лететь равномерно, то сила инерции изменяет своё направление на противоположное и совпадает с силой, создаваемой двигателями самолета. В результате сила инерции начинает обеспечивать равномерный полёт самолета, а силы двигателей самолета - преодолевать силы сопротивления его полету. Таким образом, равномерный полёт самолета управляется новым вторым законом механодинамики (12), согласно которому сумма сил, действующих на него, не равна нолю.
Обратим внимание на то, что расстояние движения автомобиля с ускорением меньше расстояния движения с замедлением (рис. 4, a). Обусловлено это тем, что на участке величина сил сопротивлений при разгоне автомобиля больше сил сопротивлений при замедленном движении за счёт того, что при замедленном движении выключен двигатель и коробка передач. Это - главная причина экономии топлива при езде с периодическим выключением передачи.
4-й закон механодинамики (равенство действия противодействию). Силы, с которыми действуют друг на друга два тела (рис. 1, а, поз. 2), всегда равны по модулю и направлены по прямой, соединяющей центры масс этих тел, в противоположные стороны.
На второй позиции рис. 1, а видно, что сила действия планеты М на астероид А равна , а сила действия астероида на планету равна - ( - ускорения астероида и планеты соответственно).
Поскольку , то или
(15).
То есть ускорения, которые сообщают друг другу два тела, обратно пропорциональны их массам. Эти ускорения направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Следует особо отметить, что четвёртый закон механодинамики отражает взаимодействие тел, как на расстоянии (рис. 1, а, позиция 2), так при непосредственном контакте (рис. 5). На рис. 5 показано, что в момент контакта тел A и B силы и их взаимодействия равны по величине и противоположны по направлению. При этом обе силы и являются силами внешнего воздействия и появляются одновременно.
Рис. 5. Схема контактного взаимодействия двух тел
Силы инерции и также равны по величине и противоположны по направлению.
5-й ЗАКОН механодинамики (независимость действия сил). При одновременном действии на тело или точку нескольких сил сопротивления движению = ньютоновское ускорение материальной точка или тела оказывается равным геометрической сумме ускорений, приходящихся на долю каждой из сил сопротивлений движению =. Из уравнения (6) имеем
, (16)
где - геометрическая сумма замедлений, приходящихся на долю всех сил сопротивлений =, кроме силы инерции , то есть . Тогда уравнение (16) запишется так
(17)
Это математическая модель 5-го ЗАКОНА механодинамики. Он гласит: при ускоренном движении твердого тела ньютоновское ускорение, формируемое ньютоновской силой, равно сумме замедлений, формируемых всеми силами сопротивлений движению.
А теперь вспомним эксперимент Галилея, в котором он поместил тела разной массы и плотности в трубку. Выкачал из неё воздух, и оказалось, что, если расположить её вертикально, то все тела падают вниз с одной и той же скоростью. Поскольку в соответствии с основным законом механодинамики сила, действующая на тело, равна произведению массы на ускорение, то кажется, что тела разной массы должны двигаться с разной скоростью, но это не наблюдается. Почему?
Рис. 6. Схема действия сил на тела, движущиеся в трубке с выкаченным воздухом
Конечно, если бы на тела в трубке с откаченным воздухом (рис. 6) действовала одна сила тяжести , то каждое из тел двигалось бы с разной скоростью, но так как все они движутся с одинаковой скоростью и с одним и тем же ускорением, то на каждое из них действуют две силы: сила тяжести и сила инерции . Ускоренное движение каждого из них указывает на то, что сила тяжести больше силы инерции . Таким образом, имеем
. (18)
Поскольку
, (19)
то масса материального тела равна его весу , деленному на ускорение свободного падения в данном месте земной поверхности.
В качестве единицы измерения силы в системе единиц СИ принят Ньютон (Н). Один Ньютон - сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение
В технической системе единиц в качестве единицы измерения силы принят 1 кГ, а массы - . Поскольку то или
Новые знания по механодинамике позволяют точно определить силы сопротивления движению любого тела. Метод определения этих сил следует из формул (3-11). Если определяются силы сопротивления движению автомобиля, то надо выбрать прямолинейный горизонтальный участок дороги, проехать по нему заданное расстояние с заданной постоянной скоростью и измерить расход топлива. Энергия этого топлива будет равна работе силы на зафиксированном участке дороги, которая противодействует всем силам сопротивления движению . Из этого следует, что сила равна сумме сил .
Если же подобный эксперимент проводить при ускоренном движении автомобиля, то, в соответствии с формулой (3), сила инерции , препятствующая ускоренному движению автомобиля, автоматически войдёт в сумму сил сопротивлений и результат определения сил сопротивлений будет полностью ошибочен.
Ньютоновская или движущая сила определится по второму закону Ньютона
. (20)
Ньютоновское ускорение удобнее определять в этом случае по формуле (11), а инерциальную составляющую замедления - по формуле (9). Сила инерции определится по формуле (8).
Механодинамика криволинейного ускоренного, равномерного и замедленного движений материальной точки
Механодинамика ускоренного криволинейного движения точки
Криволинейное движение точки описывается обычно в естественной системе координат, имеющей нормальную ось , касательную ось и бинормаль (рис. 7). При этом плоскость называется соприкасающейся плоскостью. Ось перпендикулярна соприкасающейся плоскости. Скорость точки направлена в сторону движения.
Рис. 7. Схема ускорений и сил, действующих на материальную точку, движущуюся криволинейно и ускоренно
механодинамика криволинейный материальный
Поскольку движение криволинейное, то нормальная составляющая полного ускорения всегда направлена в сторону вогнутости кривой (рис. 7). Направление касательной составляющей полного ускорения зависит от характера криволинейного движения. Если оно ускоренное, то направления касательного ускорения и вектора скорости совпадают (рис. 7).
При ускоренном криволинейном движении на материальную точку действует ньютоновская (движущая сила) , сумма сил сопротивления , направленная противоположно движению, касательная и нормальная составляющие полной силы инерции .
Вектор ньютоновской силы направлен вдоль вектора полного ускорения в сторону вогнутости кривой. Он раскладывается на две составляющие: нормальную и касательную . Поскольку касательная сила инерции направлена противоположно ускорению , то нормальная составляющая силы инерции всегда направлена от центра кривизны траектории вдоль радиуса кривизны, а касательная составляющая силы инерции направлена противоположно касательной составляющей полного ньютоновского ускорения и совпадает с направлением касательного замедления .
Таким образом, уравнение сил, действующих на материальную точку вдоль касательной к криволинейной траектории, запишется так
(21)
. (22)
Как видно, уравнения (21) и (22) аналогичны уравнениям сил (3) и (4), действующих на ускоренно движущееся тело при прямолинейном движении. Для решения этого уравнения необходимо знать ускорение и замедление . Чтобы определить их надо знать, прежде всего, уравнение движения точки. В рассматриваемом случае оно задаётся в естественной форме
. (23)
Зная уравнение движения точки (23), находим её скорость
(24)
и касательное ускорение
. (25)
Модуль нормального ускорения определяется по формуле
, (26)
где - радиус кривизны траектории.
Модуль замедления можно определить только в том случае, когда будет известна сумма сил сопротивлений , действующих на точку. Величина определяется экспериментально. Зная её, находим замедление , формируемое касательной составляющей силы инерции (рис. 7).
. (27)
Из этого уравнения следует, что замедление , приходящееся на долю сил сопротивления , равно
(28)
. (29)
Таким образом, новые законы механодинамики позволяют корректно описать процесс криволинейного ускоренного движения материальной точки. Приступим к описанию равномерного криволинейного движения точки.
Механодинамика равномерного криволинейного движения точки
При равномерном криволинейном движении точки касательное ускорение равно нулю, но касательная сила инерции , действовавшая на точку в период, когда она двигалась ускоренно перед переходом к равномерному движению, никуда не исчезает. Она изменяет своё направление на противоположное (рис. 8). В результате сумма касательных сил, действующих на материальную точку, запишется так
. (30)
Рис. 8. Схема сил, действующих на материальную точку при равномерном криволинейном движении
Напомним, что сумма сил сопротивлений движению точки - величина экспериментальная. Так как скорость криволинейного движения точки в этом случае - величина постоянная , то касательная составляющая её полного ускорения равна нулю и остаётся одно нормальное ускорение , соответствующее нормальной составляющей силы инерции, направленной противоположно нормальному ускорению (рис. 8).
Физическая суть уравнения (30) заключается в следующем. Движущая касательная сила преодолевает все сопротивления движению , а сила инерции движет точку равномерно. Таким образом, имеется вся информация, необходимая для определения сил, действующих на материальную точку, движущуюся криволинейно и равномерно.
Механодинамика замедленного криволинейного движения точки
При переходе материальной точки от равномерного к замедленному криволинейному движению касательная составляющая движущей силы исчезает. Остаётся касательная составляющая силы инерции и сумма сил сопротивлений движению, которая генерирует замедление (рис. 9). Поскольку сумма сил сопротивления движению больше касательной силы инерции , которая не генерирует ускорение, то и замедление , соответствующее силе и совпадающее с её направлением, формирует вместе с нормальной составляющей ускорения полное ускорение , направленное с левой стороны нормальной оси (рис. 9).
Рис. 9. Схема ускорений и сил, действующих на точку при её криволинейном замедленном движении
При переходе точки к замедленному движению сумма сил сопротивления движению оказывается больше силы инерции и движение точки постепенно замедляется.
Новые знания по механодинамике позволяют точно определить силы сопротивления движению любого тела. Метод определения этих сил следует из формулы (30). Если определяются силы сопротивления движению точки, то делать это надо только при её равномерном движении. Если же сумму сил сопротивления движению точки определять при её ускоренном движении, то, в соответствии с формулой (30), сила инерции , препятствующая ускоренному движению точки, автоматически войдёт в сумму сил сопротивления движению и результат определения сил сопротивлений будет полностью ошибочен.
Ньютоновская или движущая сила при криволинейном движении определятся по основному закону Ньютона
. (31)
Полное ньютоновское ускорение , связано с её нормальной и касательной составляющими простой зависимостью