Определение параметров процесса математическим описанием движения продукта на поверхности нагрева аппарата термомеханического действия
Аскарова А.А., Ильясов К.И., Апбозов О.Ж.
ТарМУ им. М.Х.Дулати
По принятому техническому решеию основным рабочим органом нового аппарата термомеханического действия является архимедова спираль, относящейся к семейству замечательных алгебраических кривых. [1]
Архимедова спираль может быть определена как траектория точки, участвующей одновременно в двух равномерных движениях: одно из которых совершается вдоль прямой, а другое - по окружности. Поэтому полярное уравнение спирали записалась еще Архимедом в таком виде: [2]
(1)
где - коэффициент роста спирали.
Переходя к декартовой системе получили следующее уравнение:
(2)
Из уравнения (1) следует, что двум одинаковым по абсолютной величине, но противоположным по знаку значениям соответствует также одинаковые по модулю, но противоположные по знаку значения радиуса кривизны . Поэтому кривая будет состоять из двух ветвей, одна из которых раскручивается против хода часовой стрелки и соответствует положительным значениям , а другая - по ходу часовой стрелки и соответствует отрицательным значениям .
В целом кривая архимедовой спирали симметрична относительно перпендикуляра к полярной оси, на котором лежат точки пересечения двух ее ветвей (двойные точки спирали).
Установлено, что у большинства известных трансцендентных кривых, угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой является корнем алгебраического уравнения, коэффициенты которого представляют собой полиномы от X и Y. Поэтому, дифференциальное уравнение, позволяющего большинства известных в науке алгебраических спиралей являются уравнениями первого порядка в виде
(3)
где полиномы без общих множителей.
Спираль Архимеда является ортогональной проекцией на плоскость XOY линии пересечения винтовой поверхности с поверхностью конуса . Действительно, исключая из уравнения винтовой поверхности конуса, получили:
(4)
переходя к полярным координатам, будем иметь уравнение спирали для определения полярного полюса: .
Для определении продолжительности процесса для заданной толщины непрерывно поступающей массы зерна необходимо знать скорость перемещения зерновок в слое, приблизительно равной скорости перемещения самого слоя зерна и длину спирали. Очевидно, этими данными определяются основные параметры спирального аппарата.
Длину дуги архимедовой спирали определяют по формуле:
(5)
нагрев термомеханический архимедова спираль
к которой соответствует , - концы отрезки дуги спирали.
Зная длину спирали l, соответствующей траекторию движения зерновок в перемещаемом слое продукта можно определить продолжительность обработки зерновок в слое продукта, движущегося по траекторию спирали:
= ,
где v - скорость перемещения продукта под действием закручивающейся спирали, устанавливается экспериментально. Траекторию движения слоя продуктов на плоской поверхности аппарата можно определить по методике построения замечательных алгебраических кривых.
Литература
1. Инновационный патент РК №22562. Устройство для обжарки сыпучих продуктов. Заявл. 14.01.2009, опубл. 15.06.2010, бюл.№6 /Аскарова А.А., Апбозов О.Ж.
2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. -М.: ACT: Астрель. С.991