Замечание. Легко убедиться в том, что в поле все ненулевые элементы являются степенями одного элемента . Действительно, .

Теорема. Пусть — степень простого числа . Любой ненулевой элемент поля удовлетворяет уравнению: .

Доказательство.

Пусть — все ненулевые элементы поля . Возьмем любой элемент . Тогда — снова все ненулевые элементы поля. Следовательно, , отсюда . Теорема доказана.

Следствие. Любой элемент поля удовлетворяет уравнению . Для — простого это так называемая малая теорема Ферма:

для всех целых

Следствие. В поле многочлен раскладывается на линейные множители:

Следствие. При неприводимый многочлен делит многочлен , то есть , где , .

Теорема. В любом конечном поле существует (хотя бы один) элемент такой, что все ненулевые элементы этого поля являются степенями элемента : . То есть мультипликативная группа конечного поля является циклической группой порядка .

Доказательство. По первой теореме (текущего вопроса), любой ненулевой элемент поля является корнем уравнения . Но у многочлена степени не более корней. Поэтому равен числу ненулевых элементов поля. Но это и означает, что мультипликативная группа поля циклическая: существует такой элемент , что его порядок совпадает с порядком группы (и тогда все элементы группы являются степенями этого элемента).

Примитивный элемент конечного поля — элемент конечного поля, удовлетворяющий условиям предыдущей теоремы (то есть порождающий мультипликативную группу поля).

Примитивный многочлен — неприводимый многочлен, корнем которого является примитивный элемент.

Пример. Над полем многочлен является примитивным, так как любой его корень имеет 15 разных степеней: :

То есть все степени корня разные.

А неприводимый многочлен — не примитивен, так как любой корень этого уравнения (многочлена), очевидно, удовлетворяет уравнению :

То есть уже . Две степени корня совпали.

Таблица всех неприводимых многочленов полей , ,

Таблица 8

Литература

1. Фарфоровская Ю. Б., Дмитриева О. М., Рабкин Е. Л., Яновская Н. К. Дискретная математика. (Здесь есть ошибки.)

2. Нефедов В. Н., Осипова В. А. Курс дискретной математики. (Здесь есть ошибки.)

3. Бунина Е. И. Лекции по высшей алгебре.

URL: http://halgebra.math.msu.su/wiki/doku.php/staff:bunina

4. Ларин С. В. Группы, кольца и поля.

5. Зельвенский И. Г. Группы, кольца, поля. (Здесь есть ошибки.)

6. Коробейников А. Г., Гатчин Ю. А. Математические основы криптологии.