Рис. 2. Модель переходов состояний абонента в сети S-ALOHA
Учитывая, что длительность сегмента передачи составляет длительность пакета - фп = ti - ti-1, последовательность состояний ПРС с определенным количеством заблокированных абонентов в тактовые моменты времени изменяются согласно вероятностям переходов по цепи Маркова (рис. 3) с матрицей переходов (2). Переходы в состояние с меньшим номерам возможны лишь в соседние состояние, так как за такт может быть передан один пакет. Переход из состояния 0 в состояние 1 отсутствует, так как если бы все абоненты находились в состоянии готовности и один абонент сгенерировал пакет, он не может своими действиями вызвать конфликт. Так как число блокированных абонентов n не может превышать количество абонентов М, то Марковская цепь конечна, а так как все состояния связаны, то цепь имеет стационарное устойчивое состояние.
Рис. 3. Марковская цепь изменения количества n блокированных абонентов в сети с алгоритмом S-ALOHA
Число изменения блокированных узлов за цикл передачи j определяется следующим образом (см. рис. 2):
- уменьшатся на 1, если не произойдет искажения пакета помехой, либо коллизий при передаче пакета;
- не изменится, в случае успешной передачи пакета неблокированным абонентом или в случае неуспешной попытки передачи блокированным абонентом;
- увеличиться на 1, если неудачно закончится передача активного абонента;
- увеличится на j в случае одновременной попытки передачи j абонентов.
В этом случае, матрицу переходов указанного Марковского процесса
A = [an, n+j], (2)
можно представить в виде условных вероятностей того, что на очередном цикле количество блокированных абонентов станет n+j при условии, что на предыдущем цикле их было n :
,
Где
(3)
В системе (3) приведенные вероятности имеют следующий смысл:
Рa(j, n) - вероятность успешной передачи в очередном такте j-ым количеством активных абонентов при n блокированных абонентах:
Рa(j, n) = СjM-n (1- Р 1)M-n-j (Р 1) j ; (4)
Рбл(j, n) - вероятность успешной передачи в очередном такте j-ым количеством блокированных абонентов при n числе блокированных абонентах:
Рбл(j, n) = Сjn (1-Рповт)n-j (1-Рповт) j . (5)
В выражениях (4) и (5) запись Сjn означает сочетания j из n.
Подставив в выражение (1) значение an,k, после ряда преобразований получим:
L(n, PПП) = лn - µn (6)
где: лn - интенсивность "нарастания" количества блокированных абонентов n из-за коллизий и действия помех, определяемая как:
;
µn - интенсивность "рассасывания" блокированных абонентов в результате успешных передач, определяемая как:
µn = Ра(0,n) Рбл(1,n) (1-РПП).
Качественная зависимость коэффициента сноса L(n, PПП) от числа блокированных абонентов n и вероятности воздействия помех PПП приведена на рис. 4.
Рис. 4. Качественная зависимость коэффициента сноса L(n, PПП) от числа блокированных пользователей n и вероятности воздействия помех PППКак видно при наличии помех зона положительных значений коэффициента сноса L (n, PПП) увеличивается, что соответствует увеличению области нестабильного функционирования СРС.
Решая уравнения для конечного стабильного состояния сети, найдем конечные вероятности Pn* для каждого количества блокированных абонентов n [17]:
(7)
Откуда можно получить математическое ожидание числа успешных передач, этот показатель будет определять S - относительную пропускную способность канала функционирующего по алгоритму S-АLOHА
(8)
Среднее время задержки Tзад передачи пакета, выраженное в количестве попыток передачи, рассчитаем по формуле Литтла [18]:
. (9)
Математическое ожидание mn и дисперсия Dn количества блокированных абонентов в стационарном режиме будет определяться как:
, (10)
. (11)
Подавление пакетных радиосетей с методом доступа CSMA/CD
Метод доступа Carrier sense multiple access with collision detection (CSMA/CD) - случайный множественный доступ с проверкой несущей (МДПН), описываемый стандартом IEEE 802.3, получил широкое распространение в радиосетях типа Wi-Fi, а так же с незначительными доработками в качестве стандарта МАС-подуровня (media access control - управление доступом к устройствам) канального уровня OSI сетей специального назначения.
В синхронной версии МДПН длительность такта ф определяется временем распространения радиосигнала по сети с радиусом dmax:
,
где: dmax - расстояние между максимально удаленными абонентами СС; с - скорость распространения радиоволн.
Алгоритм работы абонента представляет собой следующую последовательность действий:
1. Если канал свободен, то абонент передает пакет в течение необходимого количества тактов, длительностью mф.
2. Если канал занят, то абонент откладывает свою передачу на более позднее время, в соответствии со случайным распределением задержки td повторной передачи. Когда наступает это время, абонент вновь проверяет канал и повторяет описанный алгоритм.
Процесс генерации пакетов абонентами представляет собой стационарный пуассоновский процесс с суммарной интенсивностью л1. В процессе функционирования в составе сети абонент может перейти в блокированное состояние в результате коллизии (при наложении одновременных передач различных абонентов), занятости канала связи, а так же в случае искажения текущей передачи в результате воздействия ПП. Длительность цикла передачи случайна (см. рис. 5) и определяется задержкой передачи для "захвата" канала td, временем передачи фm, и наличием "защитного такта" перед следующей передачей длительностью ф.
Рис. 5. Цикл передачи в сети с методом доступа МДПН
Изменение числа блокированных абонентов не является Марковским процессом и для его описания используем метод Кендала [18]. Введем допущение, что на длительности захвата (прослушивания) канала td число блокированных абонентов n не изменилось, если в следующий такт хотя бы один абонент начнет прослушивать канал, для осуществления передачи, состояние занятости абонентов измениться аналогично каналу с алгоритмом ALOHA:
(12)
где: Ра(j) - вероятность передачи в текущем такте j активных пользователей:
;
Рn - вероятность того, что после свободного такта начнет передачу хотя бы один из абонентов, при условии что имеется n блокированных абонентов:
.
За время передачи любой из абонентов может попытаться получить доступ к каналу и обнаружить, что он занят. В таком случае такие активные абоненты перейдут в состояние "блокирован", а матрица переходов состояния таких абонентов определяется числом требований поступивших за время обслуживания текущей передачи длительностью фm+1:
, (13)
Где
.
В этом случае матрица вероятностей переходов числа блокированных абонентов P = [ Pn,j*] за цикл передачи (td +фm+1) будет иметь вид:
(14)
Элементы матрицы A = [an, n+j] определяются в соответствии с системой (12).
Найдем значение сноса L(n, PПП) для сети с МДПН из выражения (1) с учетом выражений (13) и (14):
(15)
После упрощения выражения получим:
(16)
При допущении о большом количестве равномерно "слабых" абонентов в сети n>?, крайнее выражение возможно упростить с учетом преобразований:
,
. (17)
Тогда выражение (16) примет вид:
, (18)
где G = л1+nPповт - интенсивность трафика поступающего в канал связи.
На рис. 6 приведены качественные зависимости, построенные для сноса L(G, PПП) в соответствии с (18) для различных значений PПП и интенсивности трафика в канале G.
Рис. 6. Зависимость интенсивности сноса от интенсивности трафика в сети с МДПН
Для получения относительной пропускной способности сети и времени задержки используем теорию Марковских процессов. Средняя пропускная способность сети с МДПН есть относительное время пребывания сети в состоянии успешной передачи, то есть данный показатель может быть найден при анализе состояний такой сети [15]. Из-за произвольного распределения длительности циклов передачи процесс смены состояний на является Марковским, в связи с чем для его описания используем теорию вложенных полумарковских процессов [17-19].
Пространство состояний канала связи приведен на рис. 7. Переход из одного состояние в другое определяется интенсивностью потока пакетов на передачу, из-за чего происходит скачкообразное изменение состояний Z0 > Z1 > Z2 > Z0 > Z1 > Z3 >… в произвольные моменты времени.
Рис. 7. Пространство состояний канала связи в сети с методом доступа МДПН
Определим вероятности перехода между состояниями:
,
а так же условные функции распределения вероятностей переходов Zi > Zj на длительности цикла передачи:
.
Марковский процесс полностью определяется вероятностью начального состояния (Z1) матрицей вероятностей перехода [рij] для i, j = 0..4 и матрицей функций распределения [ Fij(t) ]. Для стационарного режима функционирования сети, существует стационарное решение для Марковской цепи. могут быть определенны как [17]:
, (18)
где: ТZ j - мат. ожидание времени нахождения абонента в Zj-ом состоянии выраженное в количестве тактов; Pj -вероятность нахождения абонента в состоянии Zj без учета длительности нахождения в каждом состоянии.
Предельные вероятности для системы на рис. 7 могут быть получены путем решения системы [19]:
. (19)
Для синхронной версии МДПН время пребывания канала в незанятом состоянии, выраженное в количестве тактов, имеет геометрическое распределение с математическим ожиданием:
,
при этом прослушивание канала абонентом занимает один тактовый интервал ф: T1 = ф =1.
Длительность пакетов в процессе функционирования системы связи не изменяется, соответственно время пребывания в состояниях Z2, Z3, Z4 равно длительности передачи пакета, выраженное в количестве тактов:
T2 = T3 = T4 = фm.
Определим переходные вероятности для цепи на рис. 7:
- для Z0 > Z1. Так как после освобождения канала абонент всегда прослушивает канал то: р01 = 1;
- для Z1 > Z2. Передача абонента завершится успешно, если нет передач от других абонентов, и помеха не исказит пакет:
;
- для Z1 > Z3. Данный переход определяется вероятностью искажения пакета помехой:
;
- для Z1 > Z4. Будет определяться вероятностью коллизии, в случае если попытку передачи осуществляют более одного абонента:
;
- для Zj > Z0. Так как переход в незанятое состояние по завершение цикла передачи осуществляется всегда, то: р20 = р30 = р40 = 1.
Решая систему (19) и подставляя результаты в (18), получим вероятность нахождения канала в режиме успешной передачи PZ 2, которая будет определять относительную пропускную способность сети с методом доступа МДПН нормированную к единице:
.
Данное выражение возможно упростить, при допущении о большом количестве равномерно "слабых" абонентов в сети n>?:
,
где G = л1+nPповт - интенсивность трафика поступающего в канал связи.
Таким образом, возможно подавление сетей случайного множественного доступа на основе протоколов ALOHA и CSMA/CD которое может быть осуществлено низкоэнергоемкими средствами РЭП за счет использования внутренних особенностей их функционирования. Указанный способ может быть применен к ПРС на основе протоколов IEEE 802.3, IEEE 802.11, а так же ко всем разновидностям доступа к каналу.
Литература
1. Захаренко Г.И., Сапожников В.В., Сапожников В.И., Федосеев В.Е., Савченко К.Ю. Системы связи: уч. пособие. - Ставрополь, изд. СВВАИУ, 2007. - 228 с.
2. Хант Г. Реализация систем для ведения "сетецентрических" (net-centric) войн // МКА: мир ВКТ. 2007. № 7. - с. 64-70.
3. Макаренко С.И., Демчук Д.В. Перспективы использования сетецентрических технологий управления боевыми действиями // Мат. НТК: Перспективы развития средств и комплексов связи. Ч. 3. изд. ВАС (фил. г. Новочеркасск) - Новочеркасск, 2011. - с. 137-142.
4. Макаренко С.И. Проблемы внедрения сетецентрических технологий в Вооруженных силах РФ // Мат. НТК: Перспективы развития средств и комплексов связи. Ч. 2. изд. ВАС (фил. г. Новочеркасск) - Новочеркасск, 2011. - с. 6-14.