Курсовая работа (т): Программирование алгоритмов на примере численных методов

7. Численный пример

Все вышеперечисленное в данном курсовом проекте проиллюстрировано на конкретных примерах.

Задано алгебраическое уравнение x2-2ln(x+2)=0 с заданной точностью вычисления ε=10-4 , которые необходимо решить методом половинного деления.

Для этого первоначально берем произвольные значения х и рассчитываем для них значения функции у, которые сводим в таблицу 1.

Таблица 1. Данные для построения графика функции у=x2-2ln(x+2)=0

Из таблицы 1, что корень уравнения лежит на отрезке от 1 до 2 , т. к. функция меняет знак на противоположный (в соответствие с методом половинного деления). График функции у= x2-2ln(x+2) представлен на рисунке 1.

Рис. 1. График функции у= x2-2ln(x+2)

Результаты решения по методу половинного деления были полученные с помощью программы Exсel и сведены в таблицу 2.

Решением функции у= x2-2ln(x+2) по методу половинного деления являются значения х=1,6007 а данным значением ε=0,0001 и значением функции f(x)= - 0,000015 отрезке [1;2].

Результаты программного решения дают следующие значения.

Таблица 2. Результаты расчета функции у= x2-2ln(x+2)по методу половинного деления.

Таким образом, результаты расчета функции у= x2-2ln(x+2) по методу половинного деления полученные с помощью программы Exсel дают более точный результат.

Необходимо решить систему уравнений методом Крамера.

Для этого считает основной определитель матрицы:

Аналогично считаются определители матриц, которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, n-ого столбца соответственно на столбец свободных членов. После этого решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера осуществляется по следующим формулам .

..

Определитель матрицы, полученный заменой столбца х на столбец свободных членов, считается по формуле:

Определитель матрицы, полученный заменой столбца у на столбец свободных членов, считается по формуле:

Определитель матрицы, полученный заменой столбца z на столбец свободных членов, считается по формуле:

Находим значения х, у и z по формулам:

Проверка результатов расчета осуществляются подстановкой данных в систему уравнений:

Что дает абсолютно точный результат.

Результаты программного решения показывают также абсолютно точный результат.

Необходимо вычислить определенный интеграл  на отрезке [1,2] методом прямоугольников c заданным количеством шагов n=20 и точностью ε =10-4.

Для этого находим шаг изменения аргумента .

Отсюда x=n+(i+0,5)*h и считается для всех шагов n=20

X1=1+(1+0,5)*0,05=1,075

X2=1+(2+0,5)*0,05=1,125

X3=1+(3+0,5)*0,05=1,175

X4=1+(4+0,5)*0,05=1,225

X5=1+(5+0,5)*0,05=1,275

X6=1+(6+0,5)*0,05=1,325

X7=1+(7+0,5)*0,05=1,375

X8=1+(8+0,5)*0,05=1,425

X9=1+(9+0,5)*0,05=1,475

X11=1+(11+0,5)*0,05=1,575

X12=1+(12+0,5)*0,05=1,625

X13=1+(13+0,5)*0,05=1,675

X14=1+(14+0,5)*0,05=1,725

X15=1+(15+0,5)*0,05=1,775

X16=1+(16+0,5)*0,05=1,825

X17=1+(17+0,5)*0,05=1,875

X18=1+(18+0,5)*0,05=1,925

X19=1+(19+0,5)*0,05=1,975

X20=1+(20+0,5)*0,05=2,025

Результаты расчетов представлены в таблице 3 полученной с помощью программы Excel

Таблица 3. Результаты расчетов по методу прямоугольников

Значения функции f(x) определяются по формуле f(x)= x*x-2ln(x+2) отсюда:

(x1)= 1,075*1,075-2ln(1,075+2)= -1,17281(x2)= 1,125*1,125-2ln(1,125+2)= -1,1399(x3)= 1,175*1,175-2ln(1,175+2)= -1,09274(x4)= 1,225*1,225-2ln(1,225+2)= -1,03052(x5)= 1,275*1,275-2ln(1,275+2)= -0,95244(x6)= 1,325*1,325-2ln(1,325+2)= -0,85769(x7)= 1,375*1,375-2ln(1,375+2)= -0,74548(x8)= 1,425*1,425-2ln(1,425+2)= -0,615(x9)= 1,475*1,475-2ln(1,475+2)= -0,46546(x10)= 1,525*1,525-2ln(1,525+2)= -0,29606(x11)= 1,575*1,575-2ln(1,575+2)= -0,10601(x12)= 1,625*1,625-2ln(1,625+2)= 0,105489(x13)= 1,675*1,675-2ln(1,675+2)= 0,339219(x14)= 1,725*1,725-2ln(1,725+2)= 0,595972(x15)= 1,775*1,775-2ln(1,775+2)= 0,876538(x16)= 1,825*1,825-2ln(1,825+2)= 1,181702(x17)= 1,875*1,875-2ln(1,875+2)= 1,512251(x18)= 1,925*1,925-2ln(1,925+2)= 1,868968(x19)= 1,975*1,975-2ln(1,975+2)= 2,252637

f(x20)= 2,025*2,025-2ln(2,025+2)= 2,66404

Находим суммарное значение полученных функций:

-1,09098-1,01324-0,92999-0,84124-0,74701-0,64731-0,54217-0,43158-0,31556-0,19414-0,06731+0,064916+0,202519+0,345491+0,493824+0,647508+

,806534+0,970892+1,315575+1,140576=-1,38629

Нахождение определенного интеграла по формуле прямоугольников сводится к нахождению произведения суммы значений функции в изменение значений аргумента с шагом равным частному от деления разности конечного и начального значений аргумента на заданное количество шагов

А также по формуле S=h*f(x) определяем значение интегралов на каждом из отрезков:

S1=0,05*(-1,09098)= -0,0461=0,05*(-1,01324)= -0,04333=0,05*(-0,92999)= -0,04041=0,05*(-0,84124)= -0,03732=0,05*(-0,74701)= -0,03407=0,05*(-0,64731)= -0,03065=0,05*(-0,54217)= -0,02705=0,05*(-0,43158)= -0,02326=0,05*(-0,31556)= -0,01929=0,05*(-0,19414)= -0,01512=0,05*(-0,06731)=-0,01076=0,05*(0,064916)= -0,00619=0,05*(0,202519)= -0,00143=0,05*(0,345491)= 0,003543=0,05*(0,493824)= 0,008721=0,05*(0,647508)= 0,01411=0,05*(0,806534)= 0,019712=0,05*(0,970892)= 0,025528=0,05*(1,315575)= 0,03156=0,05*(1,140576)= 0,03781

Суммарное значение интегралов равно:  -1,17281-1,1399-1,09274-1,03052-0,95244-0,85769-0,74548-0,615-0,46546-0,29606-0,106010,1054890,3392190,5959720,8765381,1817021,5122511,868968

,2526372,66404=0

Погрешность метода находим по формуле .

Для метода прямоугольников формула примет вид

.

0,05*(-3,87969)=-0,1938

=

Правая часть формулы прямоугольников является интегральной суммой и при h0 стремится к данному интегралу. Однако при фиксированном h отличается от соответствующего интеграла на величину Rn(f). По заданной абсолютной погрешности ε подбирается параметр n, при котором выполняется равенство < ε.

0<0,0001, что соответствует условию задачи.

Рис. 2. График функции построенной по методу прямоугольников

функции вида. дает следующий результат: определенный интеграл равен 0,99959.Rn(f)<E, где Rn(f)=  Sn(f)= n x*f(xk)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

структурный программирование функция уравнение

В заключение хотелось бы отметить, что применение языка программирования Turbo Pascal 7.0 значительно упрощает работу по вычислению значений функций, нахождения корней уравнений и вычисления программы. Достаточно усовершенствовать отдельный модуль откомпилировать его и появляется возможность решать различные варианты задач с использованием данных методов. Более того, текст главной программы более читаем, и занимает меньше места. Имеющиеся наработки в отдельных модулях можно использовать в других программах. Четко выраженная структура программы позволяет более ясно представить цели и задачи стоящие перед программистом.

Список используемЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.       Информатика: учебник для вузов / А.Н. Гуда [и др.]; под ред. В.И. Колесникова. - М.: Дашков и К, 2008. - 400 с.

2.       Чекмарев, Ю.В. Вычислительные системы, сети и телекоммуникации [Электронный ресурс]/ Ю.В. Чекмарев.- «ДМК Пресс», 2010. - Загл. с экрана.- Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=258&pl1_id=1108.

.        Шаньгин, В.Ф. Защита компьютерной информации [Электронный ресурс]/ В.Ф. Шаньгин.- «ДМК Пресс», 2010. - Загл. с экрана.- Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=258&pl1_id=1146 .

4.       Артемова, С.В. Информатика. Методические указания по выполнению лабораторных работ/ С.В. Артемова, Т.И. Чернышова, Н.Г. Чернышов. - Тамбов, Тамб. гос. техн. ун-т, 2006. - 54 с.

5.       Галявов, И.Р. Borland C++ для себя [Электронный ресурс]/ И.Р.. Галявов. - «ДМК Пресс», 2009. - Загл. с экрана.- Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=258&pl1_id=1230.

6.       Алексеев, Е.Р FreePascal и Lazarus: Учебник по программированию [Электронный ресурс]/ О.В. Чеснокова, Т.В.Кучер.- «ДМК Пресс», 2010. - Загл. с экрана.- Режим доступа: http: //e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid =258&pl1_id =1267.

7.       Буч, Г. Язык UML руководство пользователя [Электронный ресурс]/ Г.Буч, Д. Рамбо, И. Якобсон. - «ДМК Пресс», 2008. - Загл. с экрана.- Режим доступа: http: //e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid =258&pl1_id =1246.

8.       OpenOffice.org для профессионала [Электронный ресурс].- «ДМК Пресс», 2009. - Загл. с экрана.- Режим доступа: http: //e.lanbook.com/books/ element.php?pl1_cid =258&pl1_id =1223.

.        Дьяконов, В.П. MATHLAB 9.5 /10/11 в математике, физике и образовании [Электронный ресурс]/ В.П.Дьяконов. -«ДМК Пресс»,- 2010. - Загл. с экрана.- Режим доступа: http: //e.lanbook.com/books/ element.php?pl1_cid =258&pl1_id =1181.

10.     http//crems.jesby.tstu.ru.88

11.     www.kib.ru/info/course

12.     http://study.utmn.ru/~izaharova

ПРИЛОЖЕНИЕ

program glav; {присвоение имени программы}

uses crt, modul1, modul2, modul3; {объявление модулей} {объявление переменных}

w:integer; { объявление переменной: w тип целые}

begin {начало тела программ

repeat {начало цикла «repeat - until»}('1-polovin del, 2-kramer, 3 - integral'); {вывод сообщения в ‘ ‘ на экран}(w); {ввод значения переменной w}

if w=1 then polovin; {расчет методом половинного деления}

if w=2 then kramer; {расчет методом Крамера}

if w=3 then pr; {расчет по формуле прямоугольников}

until (w=1) or (w=2) or (w=3);; {задержка экрана}

end. {окончание программы}

unit modul1; {объявление модуля 1}crt;polovin; {определение процедуры polovin }{раздел реализации процедуры} { объявление переменных типа действительные числа}

a,b,e,x,c:real;f(x:real): real; { объявление функции f } { начало тела функции}

f:= x*x-2ln(x+2) {вычисление значения функции}

end;

procedure polovin; { конец тела функции} {начало тела процедуры}

clrscr;

write('a= '); {ввод начального значения}

readln(a);

write('b= '); {ввод конечного значения}

readln(b);

write('e= '); {ввод погрешности вычисления}

readln(e);

c:=(a+b)/2; {расчет начального значения аргумента}

while abs(b-a)>e do { начало цикла «while», проверка условия}

begin

if f(a)*f(c)<0 then b:=c { проверка условия «f(a)*f(c)<0» и присвоение}

else a:=c; {значения a или b }

c:=(a+b)/2; { конец цикла «while»}:=(a+b)/2;

writeln('x= ',x:4:2); {Вывод значения x}

writeln('f(x)= ',f(x):4:4); {Вывод значения f(x)}

readln;

end; {окончание процедуры polovin}

end.modul2; {объявление модуля} crt;n=3; {определение постоянной n=3 }

type matr=array[1..3,1..5] of real; {определение типа matr}kramer; {определение процедуры kramer }kramer; {раздел реализации процедуры}

var { объявление переменных типа действительные числа}

a:matr;,j,m,k:integer;,s2,d,opred,det: real;,x,v,popr:array[1..n] of real;op(a:matr):real; {определение функции op }

var { объявление переменных функции op },j,m: integer;{начало тела функции op}

for i:=1 to 3 doj:=1 to 2 do begin[i,j+n]:=a[i,j];('a[',i,',',j+n,']= ',a[i,j+n]:4:2); {добавление к матрице 2 и 3 столбца };:=0;m:=0 to 2 do begin

d:=1;i:=1 to n do:=d*a[i,i+m]; {нахождение произведения элементов главных диагоналей}:=s1+d; {сумма произведений элементов главных диагоналей}

end;:=0;m:=6 downto 4 do:=1;i:=1 to n do

d:=d*a[i,m-i]; {нахождение произведения элементов побочных диагоналей}:=s2+d; {сумма произведений элементов побочных диагоналей};:=s1-s2; {расчёт определителя матрицы}; { конец тела функции}{начало тела процедуры}

for i:=1 to n doj:=1 to n do

write('vvedite a[',i:2,',',j:2,']= '); {ввод значений элементов матрицы А}

readln(a[i,j]);;

write('vvedite b[',i:2,']= '); {ввод значений элементов матрицы В}(b[i]);;:=op(a); {вызов функции op для расчёта главного определителя матрицы}

writeln('det= ', det:4:2);i:=1 to n do beginj:=1 to n do begin

v[j]:=a[j,i]; {присвоение временной переменной значений столбца}[j,i]:=b[j]; {присвоение значению столбца значений матрицы- столбца В};[i]:=op(a); {вызов функции op для расчёта побочных определителей }

writeln('popr',i:1,'=',popr[i]:4:2);j:=1 to n do[j,i]:=v[j]; {возврат значений i-го столбца};;i:=1 to n do

begin[i]:=popr[i]/det; {расчёт неизвестных переменных}('x',i:1,'=',x[i]:4:2); {вывод неизвестных переменных}

end;;.modul3; {объявление модуля 3}crt;pr;{раздел реализации процедуры}pr; {определение процедуры pr }

var { объявление переменных типа действительные числа},b,n,i:integer; {и действительные числа}

s,p,h,x:real;{начало тела функции};

writeln('vvedite a'); {ввод начального значения отрезка}(a);('vvedite b'); {ввод конечного значения отрезка}(b);('vvedite n'); {ввод количества отрезков}(n);:=(b-a)/n; {вычисление шага}:=0;i:=1 to n-1 do {суммируем значения функции на x1...xn}x:=a+(i+0.5)*h; {вычисляем значение х на данном шаге}:= s+(x*x-2ln(x+2)) {значение функции от данного х};:=s*h; {находим значение функции методом прямоугольник}

writeln(s:4:4);;;.