Материал: Решение задач ТВИМС

Решение.

Требуемое число n найдем по формуле (1.25). Имеем:

p = 1.1; q = 0.9; P = 0.96428. Подставим данные в формулу:

Откуда находим

По таблице значений функции Φ(x) находим, что

Задача. 1.5.5 Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0.2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 конденсаторов выйдут из строя

1. ровно 10 конденсаторов;

2. не менее 20 конденсаторов;

3. менее 28 конденсаторов;

4. от 14 до 26 конденсаторов.

Решение. Имеем п = 100, p = 0.2, q = 1 - p = 0.8.

1. Ровно 10 конденсаторов.

Так как п велико, воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа:

Вычислим

Так как функция φ(х) — четная, то φ(-2,5) = φ(2,50) = 0,0175 (находим по таблице значений функции φ(х). Искомая вероятность

2. Не менее 20 конденсаторов;

Требование, чтобы из 100 конденсаторов из строя вы­шли не менее 20, означает, что из строя выйдут либо 20, либо 21, ..., либо 100. Таким образом, т₁ = 20, т₂ =100. Тогда

По таблице значений функции Φ(x) найдем Φ(x₁) = Φ(0) = 0, Φ(x₂) = Φ(20) = 0.5. Искомая вероятность:

3. Менее 28 конденсаторов;

(здесь было учтено, что функция Лапласа Ф(x) - нечет­ная).

4. От 14 до 26 конденсаторов. По условию m1= 14, m₂ = 26. Вычислим x ₁,x₂:

Задача. 1.5.6 Вероятность появления некоторого собы­тия в одном опыте равна 0.6. Какова вероятность, что это событие появиться в большинстве из 60 опытов?

Решение. Количество m появлений события в серии ис­пытаний находится в промежутке [0; 60]. «В большинстве опытов» означает, что m принадлежит промежутку [30, 60.] По условию n = 60, p = 0.6, q = 0.4, m₁ = 30, m₂ = 60. Вычислим x₁ и x₂:

Случайные величины и их распределения

Задача. 2.1.1 Дана таблица, где в верхней строке указа­ны возможные значения случайной величины X, а в нижней — их вероятности.

Может ли эта таблица быть рядом распределения X?

Ответ: Да, так как p₁ + p₂ + p₃ + p₄ + p₅ = 1

Задача. 2.1.2 Выпущено 500 лотерейных билетов, причем 40 билетов принесут их владельцам выигрыш по 10000 руб., 20 билетов — по 50000 руб., 10 билетов — по 100000 руб., 5 билетов — по 200000 руб., 1 билет — 500000 руб., осталь­ные — без выигрыша. Найти закон распределения выигры­ша для владельца одного билета.

Решение.

Возможные значения X: x₅ = 10000, x₄ = 50000, x₃ = 100000, x₂ = 200000, x₁ = 500000, x₆ = 0. Вероятности этих возможных значений:

Искомый закон распределения:

Задача. 2.1.3 Стрелок, имея 5 патронов, стреляет до первого попадания в цель. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.7. Построить закон распределе­ния числа использованных патронов, найти функцию рас­пределения F(x) и построить ее график, найти P(2 < x < 5).

Решение.

Пространство элементарных событий опыта

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

где событие {1} - попал в цель, событие {0} - не попал в цель. Элементарным исходам соответствуют следующие значения случайной величины числа использованных па­тронов: 1, 2, 3, 4, 5. Так как результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущего, то вероятности воз­можных значений:

p₁ = P(x₁ = 1) = P(1) = 0.7; p2 = P(x₂ = 2) = P(01) = 0.3 · 0.7 = 0.21;

p₃ = P(x₃ = 3) = P(001) = 0.3² · 0.7 = 0.063;

p₄ = P(x₄ = 4) = P(0001) = 0.3³ · 0.7 = 0.0189;

p₅ = P(x5 = 5) = P(00001 + 00000) = 0.3⁴ · 0.7 + 0.3⁵ = 0.0081.

Искомый закон распределения:

Найдем функцию распределения F(x), пользуясь формулой (2.5)

x ≤1, F(x) = P(X < x) = 0

1. < x ≤2, F(x) = P(X < x) = P₁(X₁ = 1) = 0.7

2. < x ≤ 3, F(x) = P₁(X = 1) + P₂(x = 2) = 0.91

3. < x ≤ 4, F(x) = P₁ (x = 1) + P₂(x = 2) + P₃(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P₁(x = 1) + P₂(x = 2) + P₃(x = 3) +

+P₄(x = 4) = 0.973 + 0.0189 = 0.9919

x > 5, F(x) = 1

Найдем P(2 < x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < x < 5) = F(5) — F(2) = 0.9919 — 0.91 = 0.0819

Задача. 2.1.4 Дана F(x) некоторой случайной величины:

Записать ряд распределения дляX.

Решение.

Из свойств F(x) следует, что возможные значения слу­чайной величины X - точки разрыва функции F(x), а со­ответствующие им вероятности - скачки функции F(x). Находим возможные значения случайной величины X={0,1,2,3,4}.

Задача. 2.1.5 Установить, какая из функций

является функцией распределения некоторой случайной величины.

В случае утвердительного ответа, найти вероят­ность того, что соответствующая случайная величина принимает значения на [-3,2].

Решение. Построим графики функций F₁(x) и F₂(x):

Функция F₂(x) не является функцией распределения, так как не является неубывающей. Функция F₁(x) является

функцией распределения некоторой случайной величины, так как является неубывающей и удовлетворяет условию (2.3). Найдем вероятность попадания на промежуток:

Задача. 2.1.6 Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины X:

Найти:

1. коэффициент C;

2. функцию распределения F(x);

3. вероятность попадания случайной величины в интер­вал (1, 3).

Решение. Из условия нормировки (2.9)находим

Следовательно,

По формуле (2.10) находим:

Таким образом,

По формуле (2.4) находим

Задача. 2.1.7 Случайное время простоя радиоэлектрон­ной аппаратуры в ряде случаев имеет плотность вероят­ности

где M = lge = 0.4343...

Найти функцию распределения F(x).

Решение. По формуле (2.10) находим

где

Задача. 2.2.1 Дан ряд распределения дискретной случай­ной величины X:

Найти математическое ожидание, дисперсию, сред­нее квадратичное отклонение, M[2X + 3], D[-3X + 2].

Решение.

По формуле (2.12) находим математическое ожидание:

M[X] = x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ + x₄p₄ = 10 · 0.2 + 20 · 0.15 + 30 · 0.25 + 40 · 0.4 = 28.5

M[2X + 5] = 2M[X] + M[5] = 2M[X] + 5 = 2 · 28.5 + 5 = 62. По формуле (2.19) найдем дисперсию:

Задача. 2.2.2 Найти математическое ожидание, диспер­сию и среднее квадратичное отклонение непрерывной слу­чайной величины X, функция распределения которой

.

Решение. Найдем плотность вероятности:

Математическое ожидание найдем по формуле (2.13):

Дисперсию найдем по формуле (2.19):

Найдем сначала математическое ожидание квадрата случайной величины:

Тогда

Среднее квадратичное отклонение

Задача. 2.2.3 Дискретная случайная величина X имеет ряд распределения:

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = e^X.