Материал: Семинар 1 Механика
4. Определим зависимость величины полного ускорения шайбы
a |
a2 an2 |
(1.2.10) |
от времени. Согласно определению
a |
d |
|
d |
( R) R |
d |
R . |
(1.2.11) |
|
dt |
dt |
dt |
||||||
|
|
|
|
|
Здесь использована известная формула для линейной скорости материальной точки, движущейся по окружности, R . Нормальное ускорение определяется выражением
an |
2 |
2 R2 |
|
|
2 R |
, |
|
|
R |
R |
|
(1.2.12) |
|
|
|
в которое входит неизвестная угловая скорость (t) . Для нахождения (t) используем определение углового ускорения
|
d |
|
dt . |
(1.2.13) |
Разделим в этом дифференциальном уравнении относительно угловой скорости переменные и t
dt d |
(1.2.14) |
и проинтегрируем левую часть по времени от t 0 |
до текущего момента |
времени t , а правую часть по угловой скорости от начального значения 0 до текущего значения (t)
t |
(t ) |
|
dt |
d . |
(1.2.15) |
0 |
0 |
|
Выполняя интегрирование |
|
|
t t |
(1.2.16) |
|
и подставляя (1.2.16) в (1.2.10), найдем, что |
|
|
an (t) 2 Rt 2 . |
(1.2.17) |
|
Из (1.2.10), (1.2.11) и (1.2.17) следует, что величина полного ускорения |
||
|
|
|
a(t) |
R2 2 R2 4t 2 |
(1.2.18) |
монотонно растет со временем.
5. В соответствии с ростом величины ускорения должна расти сила трения покоя, обеспечивающая это ускорение,
|
|
|
|
Fтр.п. ma(t) m R2 2 R2 4t 2 . |
(1.2.19) |
||
Однако величина силы трения покоя ограничена сверху величиной силы трения скольжения Fтр.ск. N mg
Fтр.п. mg , |
|
(1.2.20) |
|
поэтому условие движения шайбы вместе с диском принимает вид |
|
||
|
|
|
|
m R2 2 R2 4t 2 |
mg . |
(1.2.21) |
|
6
Отсюда находим, что в момент времени t1 , когда |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m R2 2 R2 4t12 |
mg , |
|
(1.2.22) |
|||||
шайба слетит с диска. Таким образом, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t 4 |
2 g 2 R2 2 |
|
4,5с. |
|
(1.2.23) |
|||
|
|
1 |
|
|
4 R2 |
|
|
|
||
Отметим, что при |
g R шайба слетит с диска |
сразу после начала |
||||||||
вращения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: t1 4,5с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №3 |
|
|
|
|
|
Автомобиль |
массой |
m 2000кг движется |
прямолинейно со |
|||||||
скоростью |
0 72 км ч . В |
момент времени t 0 |
на него |
начинает |
||||||
действовать |
тормозящая сила, линейно растущая со |
временем |
согласно |
|||||||
формуле Fт t , где 103 Н
с . Определите время t1 , необходимое
для полной остановки автомобиля, и соответствующий тормозной путь S1 . Решение
Это прямая задача механики, где по заданной силе необходимо определить движение тела.
1. При t 0 на автомобиль действует единственная горизонтальная сила
Fт , направленная против вектора скорости автомобиля. Векторное уравнение движения автомобиля в горизонтальной плоскости запишется
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
m d |
|
F |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т . |
|
|
|
(1.3.1) |
|
|
dt |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Перейдем к скалярной форме |
записи с |
помощью проекции |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения (1.3.1) на направление вектора скорости |
: |
|||||||
m |
d |
F |
t |
. |
(1.3.2) |
|||
|
||||||||
|
|
dt |
|
т |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка по времени относительно неизвестной функции .
3. Дифференциальное уравнение (1.3.2) решается методом разделения переменных и t :
d |
tdt . |
(1.3.3) |
|
m |
|
Проинтегрируем левую часть по скорости от еѐ начального значения 0 до текущей величины (t ) , а правую часть по времени от начального момента t 0 до текущего момента времени t
7
(t ) |
t |
tdt |
|
t |
d |
tdt . |
|||
0 |
0 |
m |
m |
0 |
|
|
|||
Выполняя интегрирование, получим
(t) 0 t 2 m 2
или
(t) 0 t 2 . m 2
4. В момент остановки автомобиля t t1
(t1 ) 0 ,
поэтому из (1.3.6) находим, что
(1.3.4)
(1.3.5)
(1.3.6)
(1.3.7)
t |
|
2m 0 |
|
8,94с |
. |
(1.3.8) |
|
||||||
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
5. Тормозной путь S1 находится с помощью определения величины скорости для прямолинейного движения
S1 dS S1
0
dSdt , dS dt,
t1 t1
dt ( 0
00
0t1
t 2 )dt m 2
t13 2
2m 3 3 0 
Ответ: t1 8,94с ; S1 119м .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.3.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.3.10) |
t1 |
|
|
|
|
t1 t 2 |
|
|
t1 |
|
t1 |
|
||
|
|
0 |
dt |
m 2 |
dt |
0 |
|
dt |
2m |
t 2 dt |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
2m 0 |
119м. |
|
|
|
|
|
|
(1.3.11) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8