Материал: Справочник магнитного диска. Контрольно-измерительные материалы для проведения тестовых и контрольных работ. Лапшина М.Л., Юрьева М.В

ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный

технический университет”

СПРАВОЧНИК МАГНИТНОГО ДИСКА

(кафедра высшей математики и

физико-математического моделирования)

КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Методические указания

для проведения тестовых и контрольных работ

у студентов направления 230400.62

«Информационные системы и технологии»

по дисциплине «Математика»

Часть 3

Составители: Марина Леонидовна Лапшина

Марина Владимировна Юрьева

Метод. указ. Ч.3.doc 1,14 Мбайт 20.11.2013 2,4 уч.-изд.л.

(наименование файла) (объём файла) (дата) (объём издания)

ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный

технический университет”

Кафедра высшей математики и физико-математического

моделирования

КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Методические указания

для проведения тестовых и контрольных работ

у студентов направления 230400.62

«Информационные системы и технологии»

по дисциплине «Математика»

Часть 3

Воронеж 2013

Составители: д-р техн. наук М.Л. Лапшина,

канд. физ.- мат. наук М.В. Юрьева

УДК 517.2 (07)

Контрольно-измерительные материалы: методические указания для проведения тестовых и контрольных работ у студентов направления 230400.62 «Информационные системы и технологии» по дисциплине «Математика». Ч.3/ ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост.: М.Л. Лапшина, М.В. Юрьева. Воронеж, 2013. 39 с.

Данные методические указания предназначены для проведения практических занятий по теме «Приложения определенного интеграла». С целью облегчения самостоятельной работы студентов приводится большое количество подробно рассмотренных примеров для каждого занятия. Указания содержат варианты заданий для проведения тестовых и контрольных работ.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержатся в файле Метод. указ. Ч.3.doc.

Ил. 7. Библиогр.: 6 назв.

.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Горбунов

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный

технический университет”, 2013

Данные методические указания предназначены для проведения практических занятий по теме «Приложения определенного интеграла». С целью облегчения самостоятельной работы студентов приводится большое количество подробно рассмотренных примеров для каждого занятия. Указания содержат варианты заданий для типовых расчетов.

Перед каждым практическим занятием следует изучить соответствующий материал по учебнику (или конспекту лекций) и ответить на относящиеся к занятию теоретические вопросы.

Вопросы для самопроверки.

1. Выведите формулу для вычисления площади криволинейного

сектора, ограниченного кривой:

а) если кривая задана в декартовой системе координат;

б) если кривая задана в полярной системе координат;

в) если кривая задана параметрически.

2. Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой:

а) если кривая задана в декартовой системе координат;

б) если кривая задана параметрически.

3. Выведите формулу для вычисления объема тела по известным

площадям сечений.

4. Выведите формулу для вычисления объема тела вращения.

Практические занятия.

Занятие 1. Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла.

1. Кривая задана в прямоугольных координатах

Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y=f (x) (f (x) ≥0) то площадь криволинейн ой трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикальными прямыми х=а и х=b и отрезком оси абсцисс a ≤x ≤b (рис.1) определяется формулой:

Рис. 1.

П

Рис.1.

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой, решив систему уравнений

Решая систему, получаем х₁= - 2, х₂=1 – это и будут пределы интегрирования. Искомая площадь равна:

1

1.2. Кривая задана в параметрической форме

Если кривая задана в параметрической форме уравнениями x=φ(t), y=ψ(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями, соответствующими x=a и x=b, и отрезком оси Ох, выражается интегралом

определяются из уравнений a=φ (t₁) и b=φ (t₂), (φ(t)≥0 на отрезке [t₁, t₂] ).

Пример 1.2. Найти площадь эллипса, используя его параметрические уравнения

Решение. В виду симметрии фигуры достаточно вычислить площадь одной четверти, а затем результат умножить на четыре. Полагая в уравнении x=a сos t , сначала х=0, затем х=а, получим пределы интегрирования t₁=π/2 и t₂=0. Поэтому

1.3. Кривая задана в полярной системе координат

Если непрерывная кривая задана в полярной системе координат уравнением ρ=ρ(φ), то площадь сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусами ОА и ОВ, соответствующими значениям φ₁=α и φ₂=β, выразится интегралом

П

Рис.2.

Решение. В силу симметрии кривой определяем сначала одну четверть искомой площади

S=a².

Задачи для самостоятельного решения.

1. Вычислить площадь, ограниченную параболой y=x²+1 и прямой x+y=3.

Ответ: 9/2.

2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y=0, y=(x+1)² и y=4-x.

Ответ: 32/3.

3. Вычислить площадь, ограниченную линиями y²=2x+1 и x+y=1.

Ответ: 16/3.

4. Вычислить площадь сечения, отсекаемого прямой y=x от параболы y=2x-x².

Ответ: 9/2.

5. Найти площадь каждой из фигур, ограниченных окружностью x²+y²-2y+8=0 и параболой y=x²+6x+10.

Ответ: S₁=(3π+2)/6; S₂=(9π-2)/6.

6. Найти площадь, ограниченную астроидой

Ответ:

7. Вычислить площадь, содержащуюся внутри кардиоиды

Ответ:

8. Вычислить площадь, ограниченную одной петлей кривой

Ответ:

9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

Ответ:

10. Вычислить площадь, ограниченную кривой , и лежащую вне круга

Ответ:

11. Вычислить площадь, ограниченную линиями и

Ответ:

Занятие 2. Длина дуги кривой.