Реферат: Теорема о ранге матрицы

Для определения ранга матрицы, как следует из доказательства последней теоремы, достаточно найти минор М из левого верхнего угла, отличный от нуля, и затем методом окаймления перебрать миноры порядка на единицу большего до обнаружения такого минора, отличного от нуля. Если таких миноров, отличных от нуля не оказалось, то ранг матрицы равен порядку минора М. Если такой минор, не равный нулю, нашелся, то процедуру расчёта окаймляющих миноров нужно продолжить.

Из доказанной теоремы следует, что ранг системы строк матрицы равен рангу системы столбцов.

Другое важное следствие теоремы состоит в том, что теперь можно утверждать: чтобы определитель п-го порядка равнялся нулю необходимо и достаточно, чтобы между его столбцами существовала линейная зависимость.

Достаточность условия здесь очевидна. Чтобы доказать необходимость, заметим, что наивысший порядок отличных от нуля миноров определителя меньше порядка самого определителя. Отсюда следует, что столбцы этой матрицы линейно зависимы.

Диагональная форма матрицы.

Две теоремы о ранге матрицы.

Ранг произведения двух матриц не выше ранга каждого из сомножителей.

Пусть имеются две матрицы А и В, которые можно перемножать и пусть АВ = С. В i-й строке, и j-м столбце матрицы-произведения С стоит элемент , определяемый формулами:

при i = 1

при i = 2

при произвольном i

Здесь видно, что j-й столбец матрицы С представляет собой линейную комбинацию столбцов матрицы А, взятых с коэффициентами . Отсюда следует, что система столбцов матрицы С линейно выражается через систему столбцов матрицы А, и ранг системы столбцов С не превышает ранга системы столбцов А.

Если теперь использовать формулу (9) для элементов произвольной строки матрицы С, то получится:

при j = 1

при j = 2

и так далее.

Отсюда видно, что система строк матрицы С является линейной комбинацией системы строк матрицы В, следовательно, ранг системы строк матрицы С не может превышать ранга системы строк матрицы В, и теорема доказана.

. Ранг произведения произвольной матрицы А справа или слева на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А.

Доказательство. Пусть

AQ = C      (**)

Из первой теоремы о ранге матрицы следует, что ранг матрицы С не выше ранга матрицы А. Если умножить обе части равенства (**) на Q-1 справа, получится равенство

AQ = CQ-1

Из той же теоремы о ранге матрицы следует, что ранг А не выше ранга С. Отсюда следует, что ранги матриц А и С совпадают.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

В частности:

Количество главных переменных системы равно рангу системы.

Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Рассмотрим систему уравнений

матрица теорема определитель

  (3)

Обозначим через А матриц у её коэффициентов и через А* её расширенную матрицу.

Теорема. Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы её коэффициентов равнялся рангу расширенной матрицы.

Доказательство. Пусть система (3) совместна. Тогда существует набор чисел , который будет решением системы. Если подставить этот набор чисел в систему, то получится выражение столбца свободных членов в виде линейной комбинации столбцов коэффициентов. Всякий другой столбец расширенной матрицы системы очевидно тоже можно представить в виде линейной комбинации матрицы коэффициентов. Очевидно, что и любой столбец матрицы коэффициентов системы можно представить в виде линейной комбинации столбцов расширенной матрицы. Таким образом, системы столбцов матрицы коэффициентов и столбцов расширенной матрицы эквивалентны. Это означает, что их ранги равны.

Пусть теперь ранги матрицы коэффициентов системы и расширенной матрицы системы (3) равны. Тогда некоторая максимальная линейно независимая система столбцов матрицы коэффициентов будет также максимальной линейно независимой системой столбцов расширенной матрицы. Отсюда следует, что столбец свободных членов может быть представлен в виде линейной комбинации столбцов матрицы коэффициентов. Набор коэффициентов этой линейной комбинации и будет решением рассматриваемой системы уравнений.