Курсовая работа (т): Теории проводимости металлов Друде и Зоммерфельда

Это выражение имеет вид

Для распределения Ферми приложение электрического поля приводит к полному обеднению тонкой изогнутой области в k-пространстве и полностью заселяет зеркально симметричную ей область с противоположной стороны от заполненной части сферы Ферми (рисунок 3.5).

Рисунок3.5 - Распределение скоростей в пространстве электронного газа для состояния равновесия, и когда к нему приложено электрическое поле в x-направлении.

Все состояния с изменяющимся заполнением отвечают энергиям электрона, близким к энергии Ферми. Поэтому электропроводность зависит только от и .

Электропроводность можно выразить через среднее время свободного пробега электронов:

Это выражение по форме в точности совпадает с выражением, полученным в модели Друде. Отличие состоит только в определении величины . Для вырожденного электронного газа имеет значение среднее время свободного пробега только малой части всех электронов.

3.4 Средняя длина свободного пробега и другие свойства металлов

Удельное сопротивление  при комнатной температуре составляет от 1 до 100 мкОм*см, а величина  обычно лежит в пределах от 2 до 6, следовательно, даже при комнатной температуре средняя длина свободного пробега может быть порядка сотни ангстрем.

Поскольку конкретный вид распределения электронов по скоростям не играет никакой роли при расчете статической и высокочастот­ной проводимости, коэффициента Холла и магнетосопротивления, их значения остаются неизменными независимо от того, использует­ся ли статистика Максвелла - Больцмана или статистика Ферми - Дирака.

Однако эти выводы несправедливы, если время релаксации зависит от энер­гии. Например, если предположить, что электроны сталкиваются с неподвиж­ными рассеивающими центрами, то тогда естественно считать, что длина сво­бодного пробега не зависит от энергии, поэтому время релаксации оказывается зависящим от энергии:

Вскоре после того, как Друде пред­ложил описывать металл моделью электронного газа, Лоренц воспользовался классическим распределением скоростей Максвелла - Больцмана и показал, что если время релаксации зависит от энергии, что это должно приводить к тем­пературной зависимости статической и высокочастотной проводимостей, а так­же к отличному от нуля магнетосопротивлению и к коэффициенту Холла, кото­рый оказывается зависящим от поля и от температуры. Поскольку для метал­лов неприменимо классическое распределение по скоростям, ни одна из таких поправок, как и следовало ожидать, не смогла устранить глубокие расхождения между выводами модели Друде и экспериментальными фактами, относящимися к металлам.

.5 Недостатки теории свободных электронов

В своих теориях как Друде, так и Зоммерфельд используют модель свободных электронов. Данная теория успешно объясняет многие характерные свойства металлов. Наиболее явные недостатки модели в том виде, как она была первоначально предложена Друде, связаны с тем, что для описания электронов проводимости в ней используется классическая статистическая механика. Зоммерфельд устранил подобные недостатки, применив к элек­тронам проводимости статистику Ферми - Дирака, но оставив без изменения все другие основные предположения модели свободных электронов.

Однако многие количественные результаты, получаемые в модели свобод­ных электронов Зоммерфельда, по-прежнему противоречат экспериментам; кроме того, эта модель оставляет нерешенными ряд принципиальных вопросов.

Теория свободных электронов предсказывает, что коэффициент Холла при плотностях электронов, типичных для металла, имеет постоянную величину R_H= -1/nec, на зависящую от температуры,времени релаксации и напряженности магнитного поля. Хотя наблюдаемые значения коэффициента Холла имеют действительно такой порядок величины, тем не менее обычно они зависят как от напряженности магнитного поля, так и от температуры.Часто подобная зависимость ока­зывается резко выраженной.Лишь коэффициенты Холла щелочных металлов обнаруживают поведение, близкое к предсказаниям теории свободных электронов.

Из теории свободных электронов следует, что сопротивление проводника в направлении, перпендикулярном постоянному магнитному полю, не должно зависеть от напряженности поля. В действительно­сти же почти всегда такая зависимость имеет место, в случае, например, благородных металлов сопротивление может возрастать практически неограниченно при увеличении поля.

Знак термо-э.д.с., как и знак постоянной Холла, не всегда совпадает с предсказанием теории свободных электронов. Также теория свободных электронов не может объяснить температур­ную зависимость статической электропроводности.

Из простой диэлектрической проницаемости, к которой приводит модель свободных электронов, невозможно получить зависимость оптических свойств металлов от частоты,  в виду сложного характера данной зависимости.

Теория Зоммерфельда доста­точно хорошо объясняет величину линейного поТ члена в низкотемпературной теплоемкости для щелочных металлов, несколько хуже для благородных метал­лов и совсем плохо для переходных металлов, таких, как железо и марганец.

Модель свободных электро­нов не содержит ничего, кроме самих электронов, поэтому она не в состоянии объяснить, почему электронный вклад в теплоемость должен преобладать только при низких температурахэксперименты совершенно одно­значно указывают, что поправка к линейному члену, пропорциональная Т³, обусловлена чем-то иным, поскольку вклад электронов в член с Т³, получаемый в простой теории Зоммерфельда, имеет неправильный знак и в миллионы раз меньше наблюдаемого.

Выводы

Зоммерфельд заново рассмотрел модель Друде, заменив всюду клас­сическое распределение по скоростям Максвелла - Больцмана распреде­лением Ферми - Дирака.Классическое описание движения электрона возможно в том случае, когда его координата и импульс могут быть измерены с необхо­димой точностью без нарушения принципа неопределенности. Типичный электрон в металле имеет импульс порядка hk_F, поэтому, чтобы классическое описание было хорошим, неопределенность импульса электрона Ар должна быть малой по сравнению с hk_F. Поскольку k_F ~ l/r_s, неопределенность координаты должна удовлетворять соотношению

где r_s имеет порядок среднего расстояния между электро­нами, т.е. составляет несколько ангстремов.

Поэтому классическое описание невозможно, если приходится рассматривать электроны, которые локализованы на расстояниях порядка межатомных. Однако электроны проводимости в металле не привязаны к конкретным ионам, а свободно передвигаются по объему металла. В макроскопических образцах в большинстве случаев нет необходимости задавать их координаты с точностью до 10^-8см. В модели Друде знание координат электрона существенно главным образом в следующих отношениях:

Когда к металлу приложено переменное электромагнитное поле или же градиент температуры, мы должны быть в состоянии указать координаты эле­ктрона с точностью до расстояний, малых по сравнению с характерным масшта­бом X, на котором изменяется поле или градиент температуры. В большинстве практических случаев приложенные поля и градиенты температуры не меняются существенно на расстояниях порядка ангстрема, поэтому достижение требуемой точности при измерении координаты электрона не приводит к недопустимо боль­шой неопределенности в его импульсе.

В модели Друде неявным образом предполагается также, что электрон можно локализовать на расстояниях, гораздо меньших длины свободного пробе­га; ввиду этого не следует доверять таким классическим рассуждениям, в ко­торых длина свободного пробега гораздо меньше 10 А. К счастью, оказывается, что в металлах при комнатной температуре длина свободного пробега порядка 100 А и возрастает с понижением температуры.

Таким образом, существует широкий класс явлений, когда поведение от­дельного электрона в металле хорошо описывается классической механикой. Использование статистики Ферми - Дирака влияет лишь на те предска­зания модели Друде, для получения которых необходимо знать распределение электронов по скоростям.

электропроводность металл друде зоммерфельд

Список литературы

1. Ашкрофт Б.Н., Мермин Н. Физика твердого тела. - Ч. 1. - М.: Мир, 1979.

. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. - М.: Высшая школа, 1985.

.Блейкмор Дж. Физика твердого тела. -- М.: Мир, 1988.

.Слэтэр Дж. Диэлектрики, полупроводники, металлы. - М.: Мир, 1969.

. Горбачев В.В., Спицина Л.Г. Физика полупроводников и металлов. - М.: Металлургия, 1982.

. Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. - М.: Мир, 1969.

.Киттель Ч. Введение в физику твердого тела . - М.: Наука, 1978.

. Петрович В.А. Учебно-методическое пособие к лабораторной работе «Классическая модель металлов Друде». - Мн.: БГУИР, 1995.