Материал: Законы распределения случайной величины и проверка гипотез о соответствии экспериментального закона распределения теоретическому. Данилов Ю.М., Скоробогатов В.С

Таблица 2.2 Интервальный ряд случайных величин для экспериментального (графы 3 и 4) и теоретического (графы 3 и 5) законов

распределения (до объединения интервалов).

Таблица 2.3 Интервальный ряд случайных величин для экспериментального (графы 3 и 4) и теоретического (графы 3 и 5) законов

распределения (после объединения интервалов).

Таким образом, после объединения число интервалов станет равным 19-3-4=12. Значения экспериментальных и теоретических частот после объединения интервалов приведены в табл. 2.3: в графах 3 и 4 для экспериментального распределения, а в графах 3 и 5- для теоретического распределения случайных величин. В табл. 2.3 приведены также значения разностей экспериментальных и теоретических частот для каждого интервала (графа 6), значения их квадратов (графа 7) и значения отношений квадрата разности к соответствующей частоте теоретического ряда (графа 8).

Подставив значения m1 и тi в выражение (2.23), полу-

чим

+0,01+ 0,0+0,01+0,04+0,3+0,0+2,02= 4,37

Число степеней свободы в соответствии с (2.24) равно

ν = k – f =12 - 3 = 9

По табл. П2 Приложения для χ 2 = 4,37 и ν = 9 находим, что Р = 0,9. Следовательно, экспериментальное распределение значений напряжения, приведенное в табл. 2.2 и показанное на рис. 2.3, близко к гауссовскому, что означает отлаженность и стабильность технологического процесса производства.

Критерий Стьюдента (t-критерий). Для проверки гипотезы о равенстве двух выборочных средних значений случайной величины, имеющей гауссовский закон распределения, используется критерий Стьюдента. Для применения данного критерия располагают выборочные средние арифметические значения случайной величины в ранжированный ряд от

наименьшей величины x1 до наибольшей xk . Далее подсчи-

тывают величину стандартного отклонения выбороч-1ых средних арифметических значений по формуле

Для случая, когда объем выборки п значительно меньше объема партии изделий N, из которой берутся выборки, формула (2.25) имеет вид

Если генеральная характеристика σ неизвестна (а это наиболее часто встречающийся случай), то в формуле (2.26) берется ее оценка

После того как определены максимальное и минимальное значения отборочного среднего арифметического и sx ,

подсчитывают размах Стьюдента:

Найденное экспериментальное значение t сравнивают с табличными , которое определяют по таблице размаха Стьюдента для экстремальных точек (см. табл. П3 Приложения). При заданном значении коэффициента риска β число степеней свободы υ (в данном случае υ=Nk) определяет значение tT по строке. Если t<tт, то гипотеза равенстве выборочных средних арифметических значений принимается, а это значит, что выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности.

В заключение следует отметить, что при малом объеме выборки n< 10) t — случайная величина и ее распределение не является .гауссовским. Однако по мере увеличения объема выборки t-распределение приближается к гауссовскому. При

n>30 его можно cчитать практическим гауссовским и оно не отличается от распределения α .

3. ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

3.1.Что такое математическое ожидание и дисперсия случайной величины и как они вычисляются ?

3.2.Какие основные законы распреджеления случайной величин Вам известны и чем они характеризуются ?

3.3.Что такое плотность вероятности, в чем ее физический смысл и как она вычисляется ?

3.4.Начертите кривую гауссовсеого распределения случайной величины и назовите ее характерные точки ?

3.5.Какие способы проверки гипотезы о соответствии экспериментального закона распределения случайной величины теоретическому Вам известны и в чем их особенности ?

3.6.Расскажите об использовании критерия Пирсона для проверки гипотезы о соответствии экспериментального закона распределения случайной величины теоретическому.

3.7.Расскажите почему и каким образом производится объединение интервалов при проверке гипотезы о соответствии экспериментального закона распределения случайной величины теоретическому при использовании критерия Пирсона.

4.ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАДАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ЕГО ВЫПОЛНЕНИЮ

4.1. По выданному преподавателем номеру варианта получить статистические данные измеренного параметра качества электронного средства.

4.2.Построить кривую распределения случайной величины для экспериментальных статистических данных своего варианта.

4.3.Определить σ и М(х) кривой распределения случайной величины для экспериментальных статистических данных своего варианта.

4.4.Построить гауссовскую кривую распределения с параметрами σ и М(х), полученными для экспериментального распределения.

4.5.Проверить методом Пирсона гипотезу о соответствии экспериментального закона распределения случайной величины теоретическому (гауссовскому).

4.6.Произвести объединение интервалов, если это необходимо, при проверке гипотезы о соответствии экспериментального закона распределения случайной величины теоретическому (гауссовскому) при использовании критерия Пирсона.

4.7.Провести анализ полученных результатов и сделать

выводы.

4.8.Оформить отчет.

5.УКАЗАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА

В отчете по лабораторной работе № 2 указывается следующее:

а) наименование лабораторной работы и ее цель; б) результаты выполнения домашнего задания;

в) ход и результаты выполнения лабораторного задания, где приводятся исходные данные, все расчеты, проводится анализ, делаются выводы, а также указываются приобретенные при выполнении лабораторной работы знания и навыки.

6.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

6.1.Как строится кривая распределения случайной величины экспериментального закона распределения ?

6.2.Как строится кривая распределения случайной величины гауссовского закона распределения ?

6.3.Какими методами определялось соответствие экспериментального закона распределения случайной величины теоретическому ?

6.4.Расскажите, какие результаты получились для Вашего варианта при определении соответствия экспериментального закона распределения случайной величины теоретическому ?

Продолжение табл. П1