Содержание
Введение
Глава 1. Анализ научной литературы по проблеме исследования
1.1 Первый замечательный предел
1.2 Второй замечательный предел
Глава 2. Решение задач на замечательные пределы
2.1 Задачи и их решение с помощью первого замечательного предела
2.2 Задачи и их решения с помощью второго замечательного предела
2.3 Применение замечательных пределов в финансово-экономических задачах
Заключение
Список литературы
Введение
Понятие замечательного предела - это термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения двух широко известных математических тождеств со взятием предела. Замечательные пределы имеют широкое применение и с их помощью можно найти и другие пределы, встречающиеся в многочисленных задачах.
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Актуальность данной проблемы бесспорна, так как замечательные пределы являются настоящей теорией, законченной, доступной, ясной и требует особого отношения к себе.
Объект - замечательные пределы.
Предмет - особенности изучения замечательных пределов.
Цель: изучение теории замечательных пределов и возможное её применение в решении задач в курсе математического анализа.
Для достижения поставленной цели решить следующие задачи:
1.Проанализировать литературу по темам «замечательные пределы».
2.Рассмотреть первый и второй замечательный предел.
3.Научиться решать задачи с помощью замечательных пределов.
Методы исследования: теоретический анализ литературы, практическое решение задач с помощью замечательного предела.
Структура работы: Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.
Во введении доказана актуальность темы, определили объект, предмет, цель и задачи исследования, указаны методы наyчно - педагогического исследования.
В главе 1 «Замечательные пределы» раскрыты понятия первого и второго замечательного предела и их следствия.
В главе 2 «Замечательные пределы» приводятся примеры решения задач с помощью первого и второго замечательного предела, я так же рассматриваются применение замечательного предела в финансово-экономических задачах.
В заключении представлены обобщенные выводы по всей работе.
Глава 1. Анализ научной литературы по проблеме исследования
1.1 Первый замечательный предел
Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечной малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере, при условии стремления этой дуги к нулю.
Первый замечательный предел имеет вид:
Непосредственное вычисления этого предела приводит к неопределенности вида 0/0.
Доказательство:
Из геометрических соображений имеем . Используя формулы площадей рассматриваемых фигур, получим
или
Разделив обе части неравенства на sin x >0, получим при условии что х>0
, или .
Так как функция y=cos x непрерывна, то .
Пользуясь теоремой о пределе промежуточной функции, получим окончательно .
Замечание:
Если x<0, то знаки неравенств изменяются на противоположные, выводы же остаются прежними [4].
Следствия из первого замечательного предела:
1.
=
2.
3.
4. [1].
1.2 Второй замечательный предел
Второй замечательный предел призван помогать избавляться от неопределенности вида 1? и выглядит он так:
Вместо x может стоять целая функция, главное, чтобы она стремилась к бесконечности.
Доказательство:
Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство . В том случае имеем n>? следовательно x>?. По свойству для неравенств имеем .
Прибавим ко всем частям неравенств единицу:
По свойству степеней имеем:
Так как
и
, то по теореме о пределе промежуточной функции имеем также и
, что и требовалось доказать. Для отрицательного x доказательство аналогично [4].
Следствия из второго замечательного предела:
1.
Доказательство:
2.
Доказательство:
3.
Доказательство:
4.
Доказательство:
=1
5.
Доказательство:
[8].
Глава 2. Решение задач на замечательные пределы
2.1 Задачи и их решение с помощью первого замечательного предела
Пример 1.
Вычислить предел:
Решение:
Подставляя в заданное выражение значение x=0, получаем неопределенность [0/0]. Тогда, по следствию из первого замечательного предела:
Получим
Ответ: [6].
Пример 2.
Найти предел
Решение:
Подставляя в исходное выражение значение x=0, получаем неопределенность [0/0]. Преобразуем выражение, чтобы воспользоваться первым замечательным пределом. Для этого запишем tg x как , получим:
По свойствам пределов константу можно вынести за знак предела, а предел произведения заменить произведением пределов (если последние существуют):
Первый предел в последнем выражении есть первый замечательный предел, и он равен , а во второй подставим значение x=0:
Ответ: [6].
Пример 3.
Найти предел
Решение:
При x=0, данное выражение представляет собой неопределенность [0/0]. Преобразуем знаменатель заданного выражения, используя основное тригонометрическое тождество:
Далее распишем полученную в знаменателе разность квадратов
По свойству пределов, предел произведения заменим произведением пределов:
Первый множитель представляет собой следствие из первого замечательного предела:
А во второй предел подставим значение x=0
Ответ: [12].
Пример 4.
Найти предел
Решение:
Подстановка вместо x нуля приводит к неопределенности:
В знаменателе - синус, следовательно, выражение можно привести к первому замечательному пределу. Начинаем преобразования:
В знаменателе - , а в числителе всего лишь один x, значит, нужно получить, и в числителе, а, когда тройки сократятся, получится первый замечательный предел в чистом виде. Умножаем на три и тут же делим и далее решаем:
Ответ: [12].
Пример 5.
Найти предел
Решение:
Умножим числитель и знаменатель на выражение сопряжённое числителю и получим:
Ответ: [14].
Пример 6.
Найти предел:
Решение:
Ответ: [14].
Пример 7.
Найти предел:
Решение:
Так как (при и , то мы имеем дело с неопределённостью вида 0/0. Однако чтобы применить первый замечательный предел следует избавиться от косинуса в числителе, перейдя к синусам (чтобы потом применить формулу или тангенсам, чтобы применить формулу
)
Сделать это можно таким преобразованием:
Так как , то
Вернёмся к пределу:
.
Рассмотрим дробь :
Вернемся к рассматриваемому пределу:
Ответ: [17].
Пример 8.
Найти предел:
Решение:
Перед тем, как переходить к ее раскрытию неопределенности 0/0, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю. Проще всего ввести переменную: . Так как , то :
.
Ответ: [17].
Пример 9.
Найти предел
Решение:
Подставим ноль в числитель и знаменатель
.
Получена неопределённость вида 0/0 (косинус нуля равен единице)
Используем тригонометрическую формулу
Постоянные множители вынесем за знак предела
Приводим к первому замечательному пределу
При этом оставшийся синус стремится к нулю.
Ответ: [17].
2.2 Задачи и их решение с помощью второго замечательного предела
Пример 1.
Вычислить предел:
Решение:
Имеем неопределенность 1? ,значит, заданный предел может быть сведен ко второму замечательному пределу. Для этого умножим и разделим степень заданного выражения на x ,и получим:
По следствию из второго замечательного предела, что
подставляя это значение в предел, будем иметь, что
Ответ: [2].
Пример 2.
Найти предел
Решение:
Представим числитель в виде суммы:
затем поделим почленно числитель на знаменатель, получим:
Получили неопределенность и 1? она может быть разрешена с помощью второго замечательного предела. Сведем к нему полученное выражение, для этого его степень умножим и разделим на (x+1):
По следствию из второго замечательного предела выражение
выделим его, в рассматриваем пределе:
Ответ: [2].
Пример 3.
Найти предел
Решение:
Выпишем выражение в круглых скобках и найдем его предел при, то есть .
Выполним преобразования над дробью .
.
Теперь выполним эквивалентные преобразования над функцией, стоящей за знаком предела:
Ответ: [6].
Пример 4.
Вычислить предел
Решение:
Тогда заданный предел будет равен:
Так как есть величина меньшая единицы, в бесконечной степени она не является неопределенностью и её предел равен нулю.
Ответ: [6].
Пример 5.
Вычислить предел
Решение:
Тогда предел всего выражения равен:
Так как , а число большее единицы в бесконечной степени стремится к бесконечности.
Ответ: [6].
Пример 6.
Найти предел
Решение:
Выражение, стоящее в основании степени, то есть , стремится при условии , то есть . Для показателя степени, то есть , получаем . Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида , которую раскроем с помощью второго замечательного предела.
Для начала отметим, что в формуле переменная стремится к бесконечности. Чтобы найти предел введем новую переменную. Проще всего новую переменную ввести так . Так как , то , то есть . Подставляя в рассматриваемый пример, и учитывая , получим:
Применим формулу .(1) Выражение в основании степени в этой формуле, то есть , соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, то есть (выражение играет роль . Формула (1) предполагает, что показатель степени будет иметь вид , то есть в этом случае в показателе степени следует получить . Домножим показатель степени на выражение . Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, то есть на выражение :
Ответ: [6].
Пример 7.
Найти предел
Решение:
Сделаем замену переменной, полагая что . Тогда очевидно, что при . Поэтому
Ответ: [3].
Пример 8.
Найти предел
Решение:
Положим, что . Тогда при и . Следовательно,
Ответ: [3].
Пример 9.
Найти предел
Решение:
Для нахождения предела преобразуем данную дробь .
Но (по 6 примеру). Поэтому
В частности при .
Ответ: [2].
2.3 Применение замечательных пределов в финансово-экономических задачах
К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, экономики, физики, биологии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т.п. [5].
Рассмотрим задачи:
Задача 1.
Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно годовых. Необходимо найти размер вклада через t лет.
Решение:
При использовании простых процентов размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину , т. е.
.
На практике значительно чаще применяют сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одно и тоже число раз, т.е
Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а раз, то при том же ежегодном приросте процент начисления за -ю часть года составит , а размер вклада за лет при начислениях составит:
Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие , ежеквартально , ежемесячно , каждый день , каждый час и т.д., непрерывно . Тогда размер вклада за t лет составит
или с учётом второго замечательного предела при
Полученная формула выражает показательный (экспоненциальный) закон роста вкладов (при ) или убывания (при ). Она может быть использована при непрерывном начислении процентов [14].
Задача 2.
Первоначальный вклад, положенный в банк под годовых, составил 1 тыс. руб. Определить вклад через 20 лет, при начислении процентов: а) ежегодном; б) поквартальном; в) непрерывном.
Решение:
а). Денежный вклад через 20 лет при ежегодном начислении процентов составит:
б). Денежный вклад через 20 лет при поквартальном начислении процентов составит:
в). Денежный вклад через 20 лет при непрерывном начислении процентов составит:
По результатам вычислений можно установить, что при непрерывном начислении процентов на вклад денежный прирост будет больший, чем при других видах начислений [14].
Заключение
В работе мы изучили основные теоретические сведения о замечательных пределах, привели примеры задач на вычисление и применение пределов. Теоретическая часть рассматривается через два определения замечательного предела и их обоснование. В теоретической части также были рассмотрены следствия из первого и второго замечательного предела. Также в данной теме была рассмотрена тема «Решение задач на замечательные пределы».