Контрольная работа: Зависимость объемов производства овощных консервов от валового сбора овощей, товарной продукции овощей, государственных закупок овощей и времени

Зависимость объемов производства овощных консервов от валового сбора овощей, товарной продукции овощей, государственных закупок овощей и времени

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова»

Финансовый факультет

Кафедра математических методов и моделей

Контрольная работа

по дисциплине: «Эконометрика»

Вариант 20.

Москва - 2011

Изучается зависимость объемов производства овощных консервов У от валового сбора овощей, товарной продукции овощей, государственных закупок овощей и времени.

Табл.1.

год	Валовой сбор овощей млн.т.	Товарная продукция овощей млн.т.	Государственные закупки овощей млн.т.	пр-во овощных консервов, муб	Время	пр-во консервов в предыдущем году
	Х3	Х2	Х1	У	Х4
1953	11,4	5,1	2,5	615,9	1	570
1954	12,8	6	3	850	2
1955	14,1	6,9	3,9	961	3
1956	14,3	6,9	3,8	1022,3	4
1957	14,8	7	4	1137,5	5
1958	14,9	7,1	4,2	1279,2	6
1959	14,8	7,3	4,5	1372,3	7
1960	16,6	8	5,1	1724,7	8
1961	17	8,2	5,5	2095,5	9
1962	16	8,8	5,9	2152	10
1963	15,2	8,4	6,3	2232,1	11
1964	19,5	10,4	7,9	2942	12
1965	17,6	9,9	7	2600	13
1966	14				14
1967	15				15
1968	16				16

Задание:

1.      Заполнить пропуски в таблице данных;

.        Отобрать факторы в регрессивную модель и выбрать форму модели;

.        По МНК оценить коэффициенты линейной регрессии и построить регрессионную модель y =b₀+b₁x₁+b₂x₂+ε;

.        Проверить выполнение предпосылок МНК;

.        Оценить качество и надежность построенной модели;

.        Провести экономическую интерпретацию результатов моделирования;

.        Спрогнозировать значение объясняемой переменной У_прогн.

регрессия детерминация автокорреляция

.       
Заполнить пропуски в таблице данных

Производство овощных консервов зависит от валового сбора овощей, товарной продукции, государственных закупок и времени. Фактор времени приобретает значение от 1 до 16.

Пропуски в динамических рядах заполним, используя методы интерполяции и экстраполяции.

Табл.2.

год	Валовой сбор овощей млн.т., Х3	Товарная продукция овощей млн.т., Х2	Государственные закупки овощей млн.т., Х1	пр-во овощных консервов, муб, У	Время, Х4	пр-во консервов в предыдущем году
1953	11,4	5,1	2,5	615,9	1	570
1954	12,8	6	3	850	2
1955	14,1	6,9	3,9	961	3
1956	14,3	6,9	3,8	1022,3	4
1957	14,8	7	4	1137,5	5
1958	14,9	7,1	4,2	1279,2	6
1959	14,8	7,3	4,5	1372,3	7
1960	16,6	8	5,1	1724,7	8
1961	17	8,2	5,5	2095,5	9
1962	16	8,8	5,9	2152	10
1963	15,2	8,4	6,3	2232,1	11
1964	19,5	10,4	7,9	2942	12
1965	17,6	9,9	7	2600	13
1966	14	8,9	5,3	1954	14
1967	15	9,2	5,8	2144	15
1968	16	9,5	6,3	2334	16

.       
Отобрать факторы в регрессионную модель и выбрать форму модели

Установка продолжительности отчетных динамических рядов дает возможность определить число факторов, подлежащих включению в модель. На каждый фактор модели должно приходиться не менее 5 точек наблюдения, тогда влияние факторов на результирующий показатель можно назвать неслучайным.

В нашем случае продолжительность рядов составляет 16 точек наблюдений (т.е. 16 лет) и мы можем взять не более 3 факторов, которые можно включить в модель.

На основе коэффициента парной корреляции рассчитаем взаимозависимости между зависимой (У) и переменными (х₁, х₂, х₃, х₄), а также переменных между собой.

Результаты расчетов представлены в таблице 3.

Табл.3.

	Y	X1	X2	X3	x4
Y	1	0,988729	0,969317	0,846825	0,889863
X1		1	0,971383	0,877547	0,858587
X2			1	0,832044	0,92089
X3				1	0,602934
x4					1

В модель можно выбрать 3 фактора. Так как коэффициент парной корреляции между факторами х3 и х4 минимален, то включаем их в модель.

Максимально возможное число факторов модели равно 3, однако, добавление любого из оставшихся факторов невозможно, в связи с их сильной взаимозависимостью.

.        По МНК оценить коэффициенты линейной регрессии b_i, i=0,1,2 и построить регрессионную модель y =b₀+b₁x₁+b₂x₂+ε

Для определения оценок b₀, b₁, b₂ воспользуемся матричным МНК. Представим данные наблюдений и коэффициенты в матричном виде. Тогда вектор оценок коэффициентов регрессии найдем по формуле

В = (Х^т Х)^-1 Х^т У

Следовательно коэффициенты регрессии следующие:

b₀ = - 1702;

b₁ = 175,62;

b₂ = 86,79.

Уравнение регрессии имеет вид:

У = -1702 + 175,62*Х₁ + 86,79*Х₂ , где

Х_{1 -} валовой сбор овощей

Х₂ - время

.        Проверка выполнения предпосылок МНК

Применение МНК для получения оценок параметров предполагает выполнение следующих предпосылок:

.        Уравнение должно быть линейно относительно параметров;

.        Отсутствует статистическая линейная зависимость между параметрами х;

.        Переменные х_i наблюдаются без ошибок;

.        Математическое ожидание случайных отклонений u_i = 0;

Табл.4.

y	ŷ	y-ŷ
615,9	386,62	229,28
850	719,24	130,76
961	1034,3	-73,3
1022,3	1156,2	-133,9
1137,5	1330,78	-193,28
1279,2	1435,12	-155,92
1372,3	1504,34	-132,04
1724,7	1907,22	-182,52	2064,2	31,3
2152	1975,4	176,6
2232,1	1921,7	310,4
2942	2763,56	178,44
2600	2516,7	83,3
1954	1971,32	-17,32
2144	2233,7	-89,7
2334	2496,08	-162,08
		Sui = 0,0

5.      Отклонение u_i имеет постоянную по времени дисперсию (гомоскедастичность) и не автокоррелированы.

.        Распределение u_i не зависит от х, если х - случайные переменные.

.        Случайные отклонения подчинены нормальному закону распределения.

Тест на гомоскедастичность

Одной из предпосылок является предположение о постоянстве дисперсий случайных отклонений во времени (гомоскедастичность). Для проверки гипотезы о присутствии гомоскедастичности проводится тест ранговой корреляции Спирмена.

Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедостичности случайного члена и рассчитывается коэффициент r по формуле:

Табл.5.

y	x3	ранг х	u	ранг u	Di	Di2
615,9	11,4	1	229,28	15	-14	196
850	12,8	2	130,76	12	-10	100
961	14,1	4	-73,3	8	-4	16
1022,3	14,3	5	-133,9	5	0	0
1137,5	14,8	6	-193,28	1	5	25
1279,2	14,9	8	-155,92	4	4	16
1372,3	14,8	6	-132,04	6	0	0
1724,7	16,6	13	-182,52	2	11	121
2095,5	17	14	31,3	10	4	16
2152	16	11	176,6	13	-2	4
2232,1	15,2	10	310,4	16	-6	36
2942	19,5	16	178,44	14	2	4
2600	17,6	15	83,3	11	4	16
1954	14	3	-17,32	9	-6	36
2144	15	9	-89,7	7	2	4
2334	16	11	-162,08	3	8	64
					SDi2 = 654

Тогда Р=1-(6*654)/(16*255)=0.03. Если r ≥ t_табл., то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется. Так как r = 0,116 < t_табл. = 0,425, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности не отклоняется.

Тест на наличие автокорреляции

Для проверки наличия автокорреляции проводится тест Дарбина-Уотсона, который устанавливает наличие или отсутствие статистической зависимости между ошибками ui . т.е. проверяется некоррелированность соседних значений ui.

Формула:

DW=2,78

Табл.6.

ui	ui - ui-1	(ui - ui-1)2	ui * ui-1
229,28
130,76	-98,52	9706,19	29980,65
-73,3	-204,06	41640,48	-9584,71
-133,9	-60,6	3672,36	9814,87
-193,28	-59,38	3525,984	25880,19
-155,92	37,36	1395,77	30136,22
-132,04	23,88	570,2544	20587,68
-182,52	-50,48	2548,23	24099,94
31,3	213,82	45718,99	-5712,88
176,6	145,3	21112,09	5527,58
310,4	133,8	17902,44	54816,64
178,44	-131,96	17413,44	55387,78
83,3	-95,14	9051,62	14864,05
-17,32	-100,62	10124,38	-1442,76
-89,7	-72,38	5238,864	1553,604
-162,08	-72,38	5238,864	14538,58

По таблице Дарбина-Уотсона найдем критические точки. Тогда d₁=0,73; d₂=1,2.₁ < DW и d₂ < DW < 4 - d₂, следовательно 0,73<2,78 и 1,2< 2,78 < 2,8

Следовательно, имеются основания считать, что автокорреляция отсутствует. Это является одним из подтверждений высокого качества модели.

.        Оценить качество и надежность построенной модели

Оценить статистическую значимость найденных эмпирических коэффициентов регрессии.

Данная оценка заключается в проверке нулевой гипотезы Н₀ о значимости отличия коэффициентов b₂, b₁ и b₀ от нуля с использованием критерия Стьюдента.

Для этого вычислим значения

Исходя из предыдущих вычислений b₂ = 86,79, b₁ = 175,62 и b₀ = - 1702

Найдем остаточную сумму квадратов по формуле:

y	ŷ	y-ŷ	(y-ŷ)2
615,9	386,62	229,28	52569,32
850	719,24	130,76	17098,18
961	1034,3	-73,3	5372,89
1022,3	1156,2	-133,9	17929,21
1137,5	1330,78	-193,28	37357,16
1279,2	1435,12	-155,92	24311,05
1372,3	1504,34	-132,04	17434,56
1724,7	1907,22	-182,52	33313,55
2095,5	2064,2	31,3	979,69
2152	1975,4	176,6	31187,56
2232,1	1921,7	310,4	96348,16
2942	2763,56	178,44	31840,83
2600	2516,7	83,3	6938,89
1954	1971,32	-17,32	299,9824
2144	2233,7	-89,7	8046,09
2334	2496,08	-162,08	26269,93
		∑ui=0	∑ ui2 = 407297

Для графической иллюстрации приближения корреляционной функции ŷ и выборочных данных y_i воспользуемся графической интерпретацией результатов:

Дисперсию регрессии найдем по формуле:

 =  = 31330,54

Проверим статистическую значимость коэффициентов регрессии, предварительно рассчитав , где z_jj - j-й диагональный элемент матрицы Z¹ = (Х^Т*Х)^-1 , тогда

=31330,54*5,222=163608,08;

=31330,54*0,028=877,26;

=31330,54*0,005=156,66;

Вычислим значения:

 = -1702/404,49 = 4,21

 = 175,62/29,62 = 5,93

 = 86,79/12,52 = 6,94

Т_табл.= 2,145

Тb₀> t_табл

Тb₁> t_табл

Тb₂> t_табл

Статистическая значимость коэффициентов b0, b1 и b2 регрессии подтверждается.

Построить доверительные интервалы для найденных коэффициентов.

Найдем интервальные оценки параметров ,  и  при уровне значимости α = 0,01,

Использую следующую формулу:

Зная уровень значимости α = 0,01 и число степеней свободы k=13, по таблице Стьюдента .

Интервальные оценки параметра :

= -2569,64-834,36

Интервальные оценки параметра :

= 112,08 239,16

Интервальные оценки параметра :

= 59,93 113,65

Вычислить коэффициент детерминации R² и оценить его статистическую значимость.

Для проверки общего качества уравнения регрессии используется коэффициент детерминации R²:

Проанализировать статистическую значимость коэффициента детерминации. Для этого проверим гипотезы Н₀: R² = 0; H₁: R² > 0. Для проверки используем распределение Фишера. Вычислим F-статистику.

y	ŷ	ŷ-y	(ŷ-y)2	yi-yср	(yi-yср)2
615,9	386,62	-229,28	52569,32	1204794
850	719,24	-130,76	17098,18	-863,531	745686,2
961	1034,3	73,3	5372,89	-752,531	566303,3
1022,3	1156,2	133,9	17929,21	-691,231	477800,6
1137,5	1330,78	193,28	37357,16	-576,031	331812
1279,2	1435,12	155,92	24311,05	-434,331	188643,6
1372,3	1504,34	132,04	17434,56	-341,231	116438,8
1724,7	1907,22	182,52	33313,55	11,16875	124,741
2095,5	2064,2	-31,3	979,69	381,9688	145900,1
2152	1975,4	-176,6	31187,56	438,4688	192254,8
2232,1	1921,7	-310,4	96348,16	518,5688	268913,5
2942	2763,56	-178,44	31840,83	1228,469	1509135
2600	2516,7	-83,3	6938,89	886,4688	785826,8
1954	1971,32	17,32	299,9824	240,4688	57825,22
2144	2233,7	89,7	8046,09	430,4688	185303,3
2334	2496,08	162,08	26269,93	620,4688	384981,5
yср=1713,531			S=407297		S=7161745

При уровне значимости α=0,05 по таблице критических точек Фишера найдем f_кр=19,42.

Так как F=101.86 > f_кр=19,42, то R² статистически значим.

В множественной регрессии каждая новая переменная x_i приводит к увеличению R² , хотя это не означает, что уравнение регрессии становится более значимым. Чтобы исключить зависимость от числа переменных, используют скорректированный коэффициент детерминации:

²==1 - 0,06*1,16=1 - 0,07=0,93

На основе проведенных вычислений можно сделать вывод, что поостренное уравнение регрессии объясняет 94% разброса зависимой переменной. Рассчитанный для исключения зависимости R² от числа переменных скорректированный коэффициент детерминации меньше коэффициента детерминации.

6.      Экономическая интерпретация результатов моделирования

Коэффициент эластичности показывает, на сколько изменится У, при изменении Х на 1%.

Формула:

Тогда влияние переменных х₁ и х₂ найдем по формуле:

 

Т.о. при увеличение валового сбора овощей (х₁) на 1% производство овощных консервов увеличивается на 157%, а при увеличении х₂ (времени) на 1% производство овощных консервов увеличивается на 43%.

.       
Прогнозирование

Овощи - необходимый компонент рациона питания многих людей. Для удобства и простоты потребления производятся овощные консервы, спрос на которые с каждым годом растет. Мы это можем наблюдать из статистических данных в таблице. Следовательно, можно предположить, что в перспективе на 5-6 лет объемы производства сохранят свою тенденцию к увеличению.

год	пр-во овощных консервов, муб	Валовый сбор овощей млн.т.	время	Модель
1953	615,9	11,4	1	386,858
1954	850	12,8	2	719,516
1955	961	14,1	3	1034,612
1956	1022,3	14,3	4	1156,526
1957	1137,5	14,8	5	1331,126
1958	1279,2	14,9	6	1435,478
1959	1372,3	14,8	7	1504,706
1960	1724,7	16,6	8	1907,612
1961	2095,5	17	9	2064,65
1962	2152	16	10	1975,82
1963	2232,1	15,2	11	1922,114
1964	2942	19,5	12	2764,07
1965	2600	17,6	13	2517,182
1966	1954	14	14	1971,74
1967	2144	15	15	2234,15
1968	2334	16	16	2496,56
1969	2812,97	17,31	17	2812,973
1970	2888,68	17,24	18	2888,677
1971	2972,55	17,23	19	2972,553
1972	3070,43	17,29	20	3070,433
1973	3162,62	17,32	21	3162,622