Материал: !_Лекция_1_С18_401_ЦАП,_Алгоритмы_и_функциональные_модели

10

Дисциплина «Элементы аналого-цифровых систем». Лектор Стенин в.Я.

Лекция 1. Цифроаналоговые преобразователи Введение. Дискретизация непрерывного (аналогового) сигнала

Аналого-цифровые системы в общем случае включают такие функциональные элементы как аналого-цифровые преобразователи (АЦП), цифроаналоговые преобразователи (ЦАП), цифровые запоминающие устройства и процессоры, а также элементы управления, синхронизации, сопряжения с другими системами. На рис 1 приведена функциональная схема аналого-цифровой системы, включающая АЦП, цифровой процессор и ЦАП. АЦП осуществляют преобразование непрерывных (аналоговых) сигналов в дискретные цифровые (кодовые) последовательности, ЦАП – преобразование цифровых сигналов в аналого-дискретные по амплитуде при дискретном времени или другой переменной.

Рис. 1. Функциональная схема аналого-цифровой системы.

Преобразование непрерывных сигналов в числовые последовательности включает: дискретизацию непрерывного сигнала во времени (или по другой независимой переменной сигнала, например, пространственной координате); квантование выборки сигнала; кодирование проквантованного значения выборки, т.е. представление количества квантов в требуемой системе счисления (чаще всего в двоичной позиционной). Дискретизация и квантование приводят к замене непрерывной функции дискретной функцией с конечным набором возможных значений. На непрерывную функцию как бы накладывается решетка допустимых значений во времени и по уровню (см. рис 2).

Рис 2. Дискретизация и квантование аналогового (непрерывного) сигнала x(t) по методу округления: Δx(k) – методическая погрешность квантования отсчета сигнала x(k); k – дискретный момент времени; h – шаг квантования по амплитуде; H – шкала преобразования. x(k) = x_КВ(k) + Δx(k), где x_КВ(k) – аналоговый квантовый эквивалент выходного кода АЦП для конкретной выборки значения сигнала в дискретный момент времени k; Δx(k) – погрешность определения значения выборки сигнала в дискретный момент времени k.

В итоге формируется решетчатая функция, и далее ее значения кодируются в определенной системе счисления, обычно в виде двоичного позиционного цифрового кода. Эту операцию выполняет АЦП. Обратная операция – образование аналого-дискретно сигнала из двоичного цифрового кода осуществляет ЦАП.

Алгоритмы и функциональные модели цап

Основой преобразования цифрового двоичного позиционного кода N = {a₁...a_n} в аналоговый эквивалент этого кода - величину x является следующее выражение

n n

x(a₁...a_n) = ∑ x_этi×a_i = H ∑ a_i/2ⁱ,

i=1 i=1

отражающее алгоритм соответствия двоично-взвешенных весов x_ЭТi = H/2ⁱ разрядам кода a_i, где H – полная шкала ЦАП.

Используя это определяющее выражение, можно получить варианты алгоритмов цифроаналогового преобразования и базовые функциональные алгоритмические модели структур ЦАП.

Простейший вариант структуры ЦАП с суммированием весовых (эталонных) токов от управляемых источников тока представлен на рис. 3, выходной ток является суммой токов отдельных эталонных (весовых) источников тока I_ЭТi разрядов кода, умноженных на значение разряда входного кода a_i:

n

I_ВЫХ(a₁...a_n) = ∑ I_ЭТi×a_i,

i=1

где I_ЭТi = I_i – значение тока источника эталонного тока i–го разряда; a_i = 0 или 1 – значение i–го разряда двоичного кода. Значение i = 1 соответствует старшему разряду кода, а i = n – младшему разряду нормализованного позиционного двоичного кода, выравненного слева.

Рис. 3. Сложение токов в ЦАП.

Основные варианты структур цифроаналоговых преобразователей

В качестве эталонных элементов в технике изготовления ЦАП и АЦП используются такие пассивные элементы, как резисторы и конденсаторы, поскольку их можно изготавливать с контролируемым воспроизводством и малыми погрешностями величин сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов по сравнению с параметрами активных элементов – транзисторов. Соотношения же сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов, изготовленных в одном технологическом цикле и на одной подложке (кристалле), оказывается можно обеспечить с ещё большей (существенно большей) точностью, чем абсолютные значения сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов.

Соответственно и схемы ЦАП и АЦП ориентированы на использование резисторов и конденсаторов как основных элементов, обеспечивающих как точное квантование и двоичное кодирование аналоговых сигналов, так и точное отображение двоичных кодов в аналоговые их эквиваленты.

С использованием резистивных технологий изготовления эталонов обработка сигналов, включая квантование аналоговых сигналов и восстановление их по двоичным кодам, ведётся в области токов и напряжений, поскольку U = R×I. С использованием конденсаторных технологий изготовления эталонов обработка сигналов ведётся в области зарядов и напряжений, поскольку Q = C×U.

Цифроаналоговые преобразователи обычно формируют аналоговый эквивалент входного цифрового кода суммированием нескольких весовых (эталонных) величин, значения которых зависят от номера разряда позиционного двоичного кода и его величины a_i = 0 или 1. В качестве весовых величин обычно выступают эталонные токи, разности потенциалов (напряжения) и заряды на емкостях конденсаторов.

Вариант алгоритма ЦАП с суммированием эталонных (весовых) напряжений, формируемых цифроуправляемыми элементами, представлен следующим выражением:

n

U_ВЫХ(a₁...a_n) = ∑ U_ЭТi×a_i,

i=1

где U_ЭТi – значение эталонного напряжения источника напряжения i–го разряда.

Вариант алгоритма ЦАП с суммированием эталонных зарядов формируемых цифроуправляемыми элементами, представлен следующим выражением:

n

Q_ВЫХ(a₁...a_n) = ∑ Q_ЭТi×a_i,

i=1

где Q_ЭТi – значение эталонного заряда i–го разряда ЦАП.

Рассмотрим наиболее распространенные способы формирования эталонных токов, напряжений и зарядов с использованием резисторов, резистивных делителей и набора конденсаторов.

Формирование эталонных токов резистивным делителем тока на R–2R матрице. Функциональная схема такого ЦАП приведена на рис. 4. Она включает резистивный делитель тока на R–2R матрице, для изготовления которой используются только два номинала резисторов, набор аналоговых цифроуправляемых (от сигналов с логическими уровнями U⁰ и U¹) коммутаторов (ключей). Такой ЦАП имеет два аналоговых входа задания смещения «Вход 1», «Вход 2» и два аналоговых выхода «Выход 1», «Выход 2», а также цифровые входы по количеству разрядов двоичного кода a₁...a_n. На аналоговые входы «Вход 1» и «Вход 2» подаются опорные напряжения U_ОП1 и U_ОП2, разность которых определяет значение суммарного тока через резистивный делитель. Часто в качестве второго опорного уровня U_ОП2 используется нулевое напряжение общей шины устройства U_ОП2 = 0 В. При работе ЦАП по обоим выходам должно быть обеспечено протекание тока, причем резистивные нагрузки должны быть предельно минимальны для минимизации погрешностей преобразования. Рассмотрим то, как формируются весовые (эталонные) токи в таком ЦАП. Резистивный делитель на R–2R матрице используется как делитель тока. Определим значение тока первого разряда I₁. Два резистора величиной 2R в цепи младшего разряда i = n включены как параллельные элементы в цепи резистора R предыдущего разряда i = n-1. Таким образом в цепи в цепи n-1–го разряда образуется такой же делитель с эквивалентными сопротивлениями 2R и 2R (см. выделенные штриховой линией прямоугольники i = n и i = n-1).

Рис. 4. Схема ЦАП на основе резистивного делителя токов типа R-2R.

Осуществляя преобразования таким образом с сопротивлениями резисторов всех предшествующих каскадов можно показать, что в цепи первого разряда i = 1 образуется эквивалентный делитель тока из резисторов с равными сопротивлениями 2R, один из которых соединен с аналоговым переключателем первого разряда, а второй образован резистором R первого разряда и цепочкой всех остальных резисторов ЦАП (см. прямоугольник i = n-1, выделенный штриховой линией на рис. 4). Следовательно, во-первых, общая резистивная нагрузка для источника опорного напряжения U_ОП составляет значение R и ток, отбираемый от источника опорного напряжения, будет иметь величину I_ОП = U_ОП/R, и, во-вторых, величина весового (эталонного) тока первого разряда будет I₁ = (1/2)×I_ОП = U_ОП/2R. Такой же по величине ток протекает в оставшуюся часть резистивного делителя и часть тока, равная его половине, ответвляется резистивным делителем на аналоговый ключ второго разряда i = 2, следовательно, I₂ = I₁/2 = I_ОП/4. Таким образом можно показать, что токи, формируемые резистивным делителем и поступающие на аналоговые ключи имеют величины, описываемые следующим выражением

I_i = I_ОП/2ⁱ = (U_ОП/R)/2ⁱ.

Выходной ток ЦАП зависит от того, через какие аналоговые ключи на этот выход протекают и суммируются весовые (эталонные) токи, что зависит от значения кода соответствующего разряда a_i = 0 или 1. Таким образом, ток первого выхода может быть определен по выражению

n n

I_ВЫХ1(a₁...a_n) = ∑ I_i×a_i = (U_ОП/R)×∑ a_i/2ⁱ ,

i=1 i=1

а ток второго выхода –

n n

I_ВЫХ2(a₁...a_n) = I_ОП - I_ВЫХ1(a₁...a_n) = ∑ I_i×ā_i = (U_ОП/R)×∑ ā_i /2ⁱ,

i=1 i=1

где ā_i = 1 - a_i – инверсное значение соответствующего разряда кода.

Повышение стабильности формирования эталонных токов. К недостаткам рассмотренного способа формирования эталонных токов относится то, что величины токов I_i зависят от характера нагрузок в выходных цепях аналоговых ключей, т.е. сопротивлений в выходных цепях «Выход 1» и «Выход 2».

На рис. 5 приведена функциональная схема ЦАП с токовым выходом, где статическая характеристика преобразования входного кода отражена генератором тока I_ВЫХ(N_ВХ), а R_{ВЫХ.ЦАП} – выходное сопротивление ЦАП, отражающее распределение тока в конкретной структуре делителя токов. На рис. 6 приведены две передаточные характеристики ЦАП, характеризующие изменение полярности напряжения на выходе ЦАП при изменении полярности выходного тока I_ВЫХ(N_ВХ) в зависимости от полярности источника опорного напряжения U_ОП в структуре ЦАП с делителем тока типа R-2R на рис. 4.

Рис. 5. Функциональная схема ЦАП Рис. 6. Статические передаточные характеристики ЦАП

Формирование эталонных перепадов напряжений резистивным делителем напряжения на R–2R матрице.

Функциональная схема такого ЦАП приведена на рис. 7. Она включает резистивный делитель на R–2R матрице, который используется как делитель падений напряжения, формируемых на резисторах матрицы от протекания токов от источников тока I₀×a_i, имеющих одинаковые значения I₀, включение которых осуществляется, если соответствующее значение разряда кода равно единице a_i = 1.

Проведем расчет составляющих выходного напряжения от действия источника тока i–го разряда. На рис.8 приведены эквивалентные схемы для определения эффективной нагрузки каждого из источников тока. Для любого разряда, кроме младшего и старшего, т.е. для i = 2, 3, ..., n-1, эффективная нагрузка состоит из сопротивления резистора 2R, непосредственно соединенного с источником тока, и двух эквивалентных сопротивлений двух частей R–2R матрицы, примыкающих к i–му источнику тока слева и справа от этого источника тока. Их значения определяются по той же методике, что и в случае формирования эталонных токов R–2R матрицей, и составляют значения равные 2R, что и показано на рис. 8а. На рис. 8б дана эквивалентная модель для младшего разряда i = n, на рис. 8в для старшего разряда i = 1.

Рис. 7. Схема ЦАП на основе резистивного делителя напряжения типа R-2R.

(а) (б) (в)

Рис. 8. Эквивалентные схемы для определения эффективной нагрузки каждого из цифроуправляемого источника тока I₀a_i на схеме ЦАП на основе резистивного делителя напряжения типа R-2R, приведенной на рис. 7.

В обоих случаях нагрузкой является резистор сопротивлением R, непосредственно соединенный с соответствующим источником, и эквивалентное сопротивление примыкающей к нему части R–2R матрицы, равное величине 2R. В итоге оказывается, что эффективная нагрузка для каждого источника тока имеет величину R_ЭФi = (2/3)R. Следовательно, падение напряжения собственно от i–го источника тока в i–м узле одинаково для всех разрядов и составляет

ΔU_i(a_i) = R_ЭФi×I₀a_i = (2/3)R×I₀×a_i.

С учетом того, что коэффициент передачи (деления) напряжения от i–го узла на выход составляет

k_i = ΔU_ВЫХ /ΔU_i = 1/2^i-1,

то падение напряжение на выходе от действия i–го источника тока будет

ΔU_ВЫХi(a_i) = ΔU_i(a_i)×k_i = (2/3)R×I₀×a_i /2^i-1 _.

Выходной сигнал ЦАП является суммой составляющих от всех разрядов и описывается следующим выражением:

n n

U_ВЫХ(a₁...a_n) = ∑ ΔU_ВЫХi(a_i) = (4/3)R×I₀×∑ a_i/2ⁱ_.

i=1 i=1

Формирование эталонных зарядов емкостным делителем заряда тока на конденсаторах

Вариантом формирования двоично взвешенных эталонов в цифроаналоговых преобразователях является структура с использованием ЦАП на коммутируемых конденсаторах. Функциональная схема такого ЦАП приведена на рис. 9. Структура содержит операционный усилитель, набор конденсаторов и ключевых аналоговых элементов.

Особенностью структур на коммутируемых конденсаторах является необходимость установки перед преобразованием нулевых начальных условий на всех конденсаторах, участвующих в преобразовании сигналов. Для осуществления режима установки нулевых начальных условий в структуре каскада на рис. 9 используются управляемые аналоговые ключи К1, К2, обеспечивающие своим замыканием шунтирование конденсаторов и подключение их выводов к нулевому потенциалу общей шины устройства.