Материал: 05_67-82_Мат_анал

Раздел 3. Введение в математический анализ Тема 3.1. Понятие функции

В зависимости от условий протекания физических процессов одни величины принимают постоянные значения и называются константами, другие - изменяются в определенных условиях и называются переменными.

Внимательное изучение окружающей среды показывает, что физические величины зависимы друг от друга, т. е. изменение одних величин влечет за собой изменение других.

Математический анализ занимается изучением количественных соотношений взаимно изменяющихся величин, отвлекаясь от их конкретного физического смысла. Одним из основных понятий математического анализа есть понятие функции.

Рассмотрим элементы множества и элементы множества (рис. 3.1.).

Рис. 3.1

Если устанавливается некоторое соответствие между элементами множеств и в виде правила , то тем самым отмечают, что определяется функция .

Определение 3.1. Соответствие , которое связывает с каждым элементом не пустого множества некоторый, вполне определенный, элемент непустого множества , называется функцией или отображением в .

Символически отображение в записывается следующим образом:

.

При этом множество называется областью определения (существования) функции и обозначается .

В свою очередь, множество называется областью значений функции и обозначается .

Кроме того, необходимо отметить, что элементы множества называют независимыми переменными или аргументами, элементы множества называют зависимыми переменными.

Способы задания функции

Функция может задаваться следующими основными способами: табличным, графическим, аналитическим.

Если на основании экспериментальных данных составляют таблицы, в которых содержатся значения функции и соответствующие им значения аргумента, то такой способ задания функции называют табличным.

В то же время, если некоторые исследования результата эксперимента выводят на регистратор (осциллограф, самописец и т. д.), то отмечают, что функция задается графически.

Наиболее распространенным есть аналитический способ задания функции, т.е. способ, при котором с помощью формулы связывают независимую и зависимую переменные. При этом существенную роль играет область определения функции:

и

разные, хотя они и задаются одинаковыми аналитическими соотношениями.

Если задают только формулу функции , то считают, что область определения этой функции совпадает с множеством тех значений переменной , для которых выражение имеет смысл. В этой связи особую роль играет проблема нахождения области определения функции.

Задача 3.1. Найти область определения функции

Решение

Первое слагаемое принимает действительные значения при , а второе при . Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств:

В результате решения такой системы получают . Следовательно, область определения функции есть отрезок .

Простейшие преобразования графиков функций

Построение графиков функций можно существенно упростить, если пользоваться известными графиками основных элементарных функций. Основными элементарными функциями называются следующие функции:

1) степенная функция где ;

2) показательная функция где - любое положительное число, отличное от единицы: и ;

3) логарифмическая функция , где - любое положительное число, отличное от единицы: и ;

4) тригонометрические функции ; .

5)обратные тригонометрические функции ; ; ; .

Элементарными функциями называются функции, получающиеся из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций, примененных конечное число раз.

Простые геометрические преобразования также позволяют упростить процесс построения графика функций. Эти преобразования основываются на следующих утверждениях:

1. График функции y = f(x + a) есть график y = f(x), сдвинутый (при a >0 влево, при a < 0 вправо) на |a| единиц параллельно оси Ox.

2. График функции y = f(x) + b есть график y = f(x), сдвинутый (при b >0 вверх, при b < 0 вниз) на | b | единиц параллельно оси Oy.

3. График функции y = mf(x) (m0) есть график y = f(x), растянутый (при m >1 ) в m раз или сжатый (при 0< m < 1) вдоль оси Oy. При – < m < 0 график функции y = mf(x) есть зеркальное отображение графика y = –mf(x) от оси O x.

4. График функции y = f(kx) есть график y = f(x), сжатый (при k >1) в k раз или растянутый ( при 0< k < 1 ) вдоль оси Ox. При – < k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.

Тема 3.2. Предел числовой последовательности Числовые последовательности

В математическом анализе переменная величина рассматривается как множество чисел, расположенных в определенном порядке (упорядоченное числовое множество).

Простейшим примером переменной величины есть числовая последовательность, т. е. такая последовательность, когда каждому натуральному числу ставится в соответствии число . Тогда отмечают, что задана числовая последовательность или .

Определение 3.2. Последовательностью действительных чисел называется функция, которая определена на множестве всех натуральных чисел.

Символически определение 3.2 можно представить в виде

Общий член последовательности является функцией натурального аргумента , т. е. .

Функцию можно задавать как аналитически, так и любым другим способом. Например, если , то последовательность представляется в виде:

Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого её члена.

Числовые последовательности могут быть как сходящимися, так и расходящимися. Сходящиеся последовательности всегда имеют предел.

Определение 3.3. Число называется пределом последовательности , если для любого наперед заданного , каким бы малым оно ни было, можно указать (существует) такой номер , что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство .

То обстоятельство, что последовательность имеет предел, который равен числу , символически записывается следующим образом:

или

при

Краткую форму записи определения 3.3 можно представить в виде

Из определения предела числовой последовательности следует, что если последовательность имеет пределом число , то члены последовательности при всех удовлетворяет неравенству

Интервал называют « - окрестностью» точки .

Принимая во внимание отмеченное, понятие предела числовой последовательности можно сформулировать с точки зрения его геометрической интерпретации.

Определение 3.4. Число есть предел последовательности , если какая бы ни была - окрестность точки , начиная с некоторого номера все значения будут попадать в эту окрестность, т. е. за пределами интервала остается только вполне определенное число членов последовательности.

Задача 3.2. Показать, что при последовательность

'

имеет пределом число 2.

Здесь общий член последовательности записывается в виде . Возьмем произвольное число и определим так, чтобы при выполнялось неравенство , то есть здесь . Последнее неравенство справедливо для . В таком случае для можно взять целую часть , т. е. . Тогда для любых будет выполняться неравенство