Материал: 05_67-82_Мат_анал

Теорема 3.10. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если они существуют и конечны, т.е.

Следствие теоремы 3.10. Постоянный множитель можно выносить за знак предела функции, т.е.

Теорема 3.11. Предел частного двух функций равен частному их пределов, если они существуют и предел знаменателя отличается от нуля, т.е.

Односторонние пределы функций

Отметим, что в определениях предела функции никаких условий на способ стремления к не накладывалось. В этой связи имеют следующие основные понятия.

Определение 3.9. Если значения функции стремятся к числу по мере стремления к со стороны меньших значений, то число называется левосторонним пределом функции в точке , т. е.

Определение 3.10. Если значения функции стремятся к числу по мере стремления к со стороны больших значений, то число называется правосторонним пределом функции в точке , т. е.

Задача 3.4. Определить левосторонний и правосторонний пределы функции при .

Решение

Проанализируем показатель степени функции . При этом имеют два варианта.

а) Если , то при этом .

б) Если ,то при этом .

Тема 3.4. Замечательные пределы Первый замечательный предел

Предел при

Функция четная, график ее представлен на рис. 3.2.

Рис. 3.2

Очевидно, что при отличается неопределенностью .

Если есть радианная мера угла, то и .

Задача 3.5. Найти пределы функций.

а)

Приведенная задача сводится к первому замечательному пределу. При этом имеем.

.

б) .

Как и в предыдущем примере, здесь неопределенность типа раскрывается путем применения первого замечательного предела

.

Второй замечательный предел

Числовая последовательность при возрастает, но остается ограниченной. Всякая возрастающая, но ограниченная последовательность имеет предел. Предел, к которому стремится , при впервые определил Непер, обозначается он через , т.е.

.

Число е является иррациональным, кроме того, оно трансцендентно и равно =2,71828.

Функция имеет пределом число не только при целочисленных значениях , но и тогда, когда стремится к бесконечности, пробегая числовую прямую непрерывно. Чтобы отметить это обстоятельство, заменим на имеем:

Последнее соотношение и определяет выражение для второго замечательного предела. Такой предел, выраженный через бесконечно малые, имеет вид

Задача 3.6. Найти пределы

а)

б)

Предел отношения многочленов при стремлении аргумента к бесконечности

Пусть ,

- некоторые многочлены.

При этом . Тогда

.

Следовательно,

Задача 3.7.Найти пределы

а) .

б) .

82