Материал: 2443

36

вероятность отказа Pотк = Рm+n = 1/m! ρm+n / mn P0; вероятность обслуживания Q = Робс = 1– Pотк ; абсолютная пропускная способность А = λQ; среднее количество занятых каналов К = A/µ;

средняя длина очереди L = M[L] = 1Pm+1 + 2Pm+2 +…nPm+n ; среднее время ожидания Т = L/λ .

Пример. На станцию техобслуживания с двумя подъёмниками для текущего ремонта поступает простейший поток заявок с плотностью λ = 1,5 маш./час. Во дворе могут находиться, дожидаясь обслуживания не более 3-х

Находим P0:

Pотк = Р5 = 0,37 = 37%, Q = Робс = 1 – Pотк = 0,63 ;

абсолютная пропускная способность А = λQ = 1,5 0,63 = 0,945 (маш.в час);

средняя длина очереди L = M[L] = 1P3+2P4+3P5 = (маш.);

среднее время ожидания Т = L/λ = 1,79/1,5 =1,19 (час).

37

Выводы

Итак, в этой главе был рассмотрен математический (или аналитический) подход к описанию и построению моделей систем массового обслуживания (СМО). Предложена классификация систем

ипостроены аналитические модели для дискретных и непрерывных марковских цепей определённой структуры. Приведены условия существования финальных вероятностей в установившемся режиме

ивыведены формулы для нахождения основных характеристик систем. В рассмотренных примерах даже несложных по структуре СМО при расчётах основных характеристик уже требуется определённый навык и уровень математической культуры. При более сложных конфигурациях структур СМО, а тем более сетей, построение аналитических моделей является непростой задачей. Поэтому наиболее перспективным направлением в исследовании систем является построение не аналитических, а имитационных моделей СМО в каких-либо готовых средах разработки, которые позволяют получать накопленные статистические результаты моделирования, отражающие характеристики системы, автоматически в конце процесса моделирования.

Контрольные вопросы и задания

1.Какой процесс называется марковским, стационарным, ординарным?

2.Рассматривается процесс: система представляет техническое устройство, которое осматривается в определенные моменты времени (например, через сутки) и её состояние регистрируется. Каждый осмотр – шаг процесса. Возможные состояния следующие:

s1 – полностью исправно; s2 – частично исправно, необходима наладка; s3 – серьёзная неисправность, требует ремонта; s4 – непригодно. Постройте граф состояний для системы.

3.Магазин продаёт две марки автомобилей А и В, для каждой своя матрица переходных вероятностей, соответствующая состояниям: «исправен», «требует

найти вероятности состояний через два года после эксплуатации, если в начальном состоянии автомобиль исправен и определить марку автомобиля наиболее предпочтительную.

38

4.В городе работают три мобильных оператора: Билайн, МТС и Мегафон

ипредположим каждый пользуется услугами одного, но может поменять его или нет на другого каждые полгода. Причём результаты опроса показали, что в среднем 15 % Билайн переходят на МТС, 10 % на Мегафон; 20 % МТС переходят на Билайн, 5 % на Мегафон; 5 % Мегафон уходят на МТС и 10 % на Билайн. Постройте матрицу переходных вероятностей. Предположив, что изначально клиенты были распределены равномерно, найти распределение через полтора года, определить какой оператор будет пользоваться наибольшим спросом.

Возможные переходы из одного состояния в другое изображены на графе. Пусть исправность первого узла приносит доход 10 у. е., а второго – 6 у. е., а их ремонт требует расходов 4 у. е. и 2 у. е. соответственно. Оценить экономический эффект возможности уменьшения вдвое времени на ремонт, если придётся вдвое увеличить затраты.

6. На вход горячей линии, имеющей 9 каналов, поступает в среднем 120 заявок в час. Заявка получает отказ, если все каналы заняты. Среднее время обслуживания в канале равно 4 мин. Все потоки простейшие. Определить вероятность отказа и среднее число занятых каналов.

7. В ремонтную мастерскую с 4 мастерами принимают не более 7 заявок в день, известно среднее число поступающих в час заявок (λ) и среднее время обслуживания (Тобс). Найти основные показатели эффективности.

8. При проектировании СМО с ограниченной очередью n, число каналов обслуживания m, производительность обслуживания µ заявок в час было рассчитано на характерную для района интенсивность потока заявок λ. Но плотность заявок по некоторым причинам удвоилась (2λ в час). Что целесообразнее для минимизации отказов: удвоить количество каналов или удвоить производительность канала.

Рассмотрите случаи:

a) m = 1, n = 3, λ = 1,5 , µ = 0,5; b) m = 1, n = 3, λ = 4 , µ=2.

39

9.На мойке машин имеется три места для мойки и еще не более трёх для стоянки ожидающих машин. Если все эти места заняты, машина уезжает. В среднем за час прибывает 2 машины, среднее время мойки одной машины 1 час. Найти вероятность отказа и среднюю длину очереди.

10.Входной поток покупателей в магазин – простейший с плотностью 3 покупателя в мин. Среднее время обслуживания 2 мин. Работает 8 продавцов, доступ неограничен. Будет ли магазин справляться с потоком? Найти характеристикисистемы.

11.Диспетчерский пункт принимает заявки на ремонт по нескольким телефонам. Известно среднее число заявок, поступающих в час (λ) и среднее время оформления Тоб. Требуется определить минимальное количество телефонов, при котором вероятность отказа будет менее 10 %. При найденном значении m определить абсолютную пропускную способность и среднее количество занятых каналов (см. таблицы).

Указание. Поскольку явно из общей формулы для нахождения вероятностей выразить m нельзя, то нужно организовать (удобно на листе Excel) пошаговую процедуру определения Рn для каждого значения m (см. формулы на стр. 32). При этом нужно найти все промежуточные вероятности от Р0 до Рn. Убедиться, что их сумма равна 1 и последняя вероятность меньше 0,1.

40

ГЛАВА 3. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В СРЕДЕ GPSS

Технологии имитационного моделирования и различные подходы к моделированию начали бурно развиваться в прошлом столетии, сначала для систем массового обслуживания, затем для технических систем и сетей. Существуют разные среды моделирования, отличающиеся подходами, средствами, функциональными возможностями. Некоторые из них имеют хороший графический интерфейс, позволяющий наблюдать за процессом моделирования. Из наиболее известных в настоящее время GPSS, Micro Saint, Arena, Anylogic и др. Рассмотрим наиболее распространённую и относительно несложную в освоении среду GPSS [2,5,7].

3.1.Общие сведения о языке GPSS

Язык моделирования GPSS/PC (General Purpose Simulation System –

общецелевая система моделирования) был разработан компанией Minuteman (США) в 1962 году изначально для моделирования дискретных систем и был предназначен для работы в операционной среде DOS. Язык получил широкое распространение и был включён в учебные курсы по моделированию систем у нас в стране и во многих университетах США и других стран. В последнее десятилетие появилась новая версия языка Gpss World, разработанная под Windows, в которой можно моделировать не только дискретные, но и непрерывные процессы. Эти возможности обеспечиваются как новыми объектами языка, так и включением в состав Gpss World языка PLUS – языка программирования низкого уровня, позволяющего взаимодействовать с другими приложениями и создавать собственные библиотеки процедур. Также эта среда обеспечивает высокую интерактивность и визуальное представление информации.

Студенческая версия GPSS/World бесплатная, имеет ограничения лишь на количество используемых в программе блоков (не более 170). Учебную версию можно получить бесплатно на портале www/minutemansoftware.com/download. Не требует установки, для запуска программы достаточно запустить на выполнение файл GPSSW.exe. После этого откроется среда моделирования GPSS/World. Далее необходимо выбрать пункт меню File/Open и в открывшемся диалоговом окне Новый документ – Создать Model. В результате будет открыто окно Untitled Model1, в котором необходимо набрать текст программы. Файл с программой можно сохранить в файле с расширением .gps (пункты меню

File/Save; File/Save As).