Материал: 2817
Функции MATLAB для моделирования законов распределения
gamma(x) |
Расчет значения гамма-функции в точке х |
normpdf(x,μ,σ) |
Расчет значения плотности вероятности нормального распределения с параметрами μ, σ в точке x |
chi2pdf(x,k) |
Расчет значения плотности вероятности распределения Пирсона с k степенями свободы в точке x |
tpdf(x,k) |
Расчет значения плотности вероятности распределения Стьюдента с k степенями свободы в точке x |
fpdf(x,k1,k2) |
Расчет значения плотности вероятности распределения Фишера с k1, k2 степенями свободы в точке x |
exppdf(x,b) |
Расчет значения плотности вероятности экспоненциального распределения с параметром b в точке x |
unifpdf(x,a,b) |
Расчет значения плотности вероятности равномерного распределения с параметрами a, b в точке x |
normсdf(x,μ,σ) |
Расчет значения функции распределения для нормального распределения с параметрами μ, σ в точке x |
chi2сdf(x,k) |
Расчет значения функции распределения для распределения Пирсона с k степенями свободы в точке x |
tсdf(x,k) |
Расчет значения функции распределения для распределения Стьюдента с k степенями свободы в точке x |
fсdf(x,k1,k2) |
Расчет значения функции распределения для распределения Фишера с k1, k2 степенями свободы в точке x |
expсdf(x,b) |
Расчет значения функции распределения для экспоненциального распределения с параметром b в точке x |
unifсdf(x,a,b) |
Расчет значения функции распределения для равномерного распределения с параметрами a, b в точке x |
Порядок выполнения работы
Для каждого закона распределения
Написать m-функцию MATLAB для расчета значения плотности вероятности в зависимости от значения случайной величины и параметров распределения. С помощью полученной m-функции построить график плотности вероятности (составить соответствующий m-скрипт).
Построить график плотности вероятности с помощью соответствующей pdf-функции MATLAB. По сравнению графиков сделать выводы о правильности составленной в п.1. m-функции.
Составить m-скрипт для построения графика интегральной функции распределения с помощью соответствующей cdf-функции MATLAB.
Исследовать поведение интегральной и дифференциальной функций распределения при различных значениях параметров с помощью составленных в пп.1. и 2. скриптов.
Замечание: Необходимую информацию по языку MATLAB можно найти в Приложении.
Лабораторная работа №2
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ
ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Цели работы
Изучение алгоритмов моделирования случайных чисел с заданным законом распределения.
Приобретение навыков моделирования одномерных случайных чисел в системе MATLAB
Основные теоретические сведения
Случайные
числа с различными законами распределения
моделируются с помощью преобразований
одного или нескольких независимых
значений базовой случайной величины
.
Базовая случайная величина – это случайная величина с распределением U(0,1) (равномерным распределением в интервале [0,1]). В любой системе программирования имеется стандартная программа моделирования базовой случайной величины.
Моделируемое
случайное число обозначим
.
Алгоритмы моделирования случайных чисел
Закон распределения |
Плотность вероятности |
Алгоритм моделирования |
Гаусса
|
где
|
где
|
Пирсона
|
где
|
где
|
Стьюдента
|
где
|
где
|
Фишера
|
где |
где
|
Экспонен-циальный
|
|
|
Равномерный
|
|
|
,
-
независимые случайные величины с
распределением
,
-
независимые случайные величины с
распределением
,
,
,
,
Функции Matlab для моделирования случайных чисел
Функция |
Назначение |
y=rand |
базовая случайная
величина, выбранная из равномерного
распределения
|
y=rand(m,k) |
моделирует (m×k)-матрицу со случайными числами, выбранными из равномерного распределения |
y=normrnd(m,s) |
случайное число,
выбранное из нормального распределения
|
y=chi2rnd(k) |
случайное число, выбранное из распределения Пирсона |
y=trnd(k) |
случайное число, выбранное из распределения Стьюдента |
y=frnd(k1,k2) |
случайное число, выбранное из распределения Фишера |
y=exprnd(b) |
случайное число, выбранное из экспоненциального распределения |
y=unifrnd(a,b) |
случайное число, выбранное из равномерного распределения |
Порядок выполнения работы
Для каждого закона распределения
Написать на основе алгоритма моделирования m-функцию, формирующую выборку случайных чисел. Входными параметрами являются параметры распределения и объем выборки.
Написать на основе rnd-функции MATLAB аналогичную п.1. m-функцию.
Сформировать на основе написанных в п.1. и п.2. функций выборку объемом
.Написать m-скрипт для отображения полученных выборок на действительной числовой оси.
Отобразить в одной системе координат график плотности вероятности и выборку на числовой прямой. Для построения графика плотности вероятности использовать программы из лабораторной работы №1.
Сделать выводы по результатам сравнения изображения выборки и графика плотности вероятности.
Замечание 1:
Изображение выборки на числовой оси
представляет собой график функции
,
у которой все координаты
,
а координаты
соответствуют элементам выборки. Вектор
можно получить с помощью функции MATLAB
y = zeros(1,n)
где (объем выборки).
Замечание2: Необходимую информацию по языку MATLAB можно найти в Приложении.
Лабораторная работа №3 эмпирические функции распределения Цели работы
Изучение методики формирования интервального распределения выборки случайных чисел и построения эмпирических функций распределения.
Изучение инструментов MATLAB для формирования интервального распределения выборки случайных чисел и построения эмпирических функций распределения.
Исследование зависимости эмпирических функций распределения от объема выборки случайных чисел.
Основные теоретические положения
Формирование интервального распределения выборки
Генеральная совокупность – это набор всех видов значений случайной величины, которые могли бы быть при данном комплексе условий.
На практике при
проведении экспериментов из генеральной
совокупности (бесконечного множества
возможных значений измеряемого параметра)
извлекается ограниченное число объектов.
Совокупность случайно отобранных
объектов из генеральной совокупности
называется выборочной
совокупностью (выборкой).
Объем выборки обозначается n.
Выборка объема n
записывается
в виде последовательности её значений
.
Последовательность
элементов выборки, расположенных в
порядке возрастания их значений
,
называется ранжированным
рядом. Номер
элемента ранжированного ряда называется
рангом.
Для представления
выборочной совокупности используется
интервальное
распределение.
Для этого диапазон значений
разбивается на
равных
интервалов. Оптимальное количество
интервалов определяется по формуле
Старджесса
.
Полученное значение округляется до целого.
Затем вычисляется ширина интервала h по формуле
и границы интервалов
,
,
где i – номер интервала.
Затем
подсчитывают частоту (количество)
попаданий значений элементов выборки
в каждый интервал. Считают, что если
некоторый элемент выборки равен левой
границе, то элемент попал в интервал, а
если правой (кроме последнего интервала)
– то не попал.
Середины интервалов вычисляются по формуле
.
Интервальное распределение удобно представлять в виде таблицы
Границы интервалов
|
Середины интервалов
|
Частота попадания в интервал
|
|
|
|
Эмпирические функции распределения
Для анализа выборок используются аналоги интегральной и дифференциальной функций распределения, которые называются статистическими (или эмпирическими). Можно сказать, что эмпирические функции распределения выборки служат для оценки теоретических (генеральных) функций распределения генеральной совокупности.
Эмпирической
функцией распределения
(функцией распределения выборки) называют
функцию
,
определяющую для каждого значения
относительную частоту события
.