Материал: 2817

Эмпирическую функцию распределения изображают в виде лестничного графика, длина каждой ступеньки которого равна длине соответствующего интервала, а высота – отношению накопленной частоты для этого интервала к объему выборки, т.е.

где – накопленная частота, т.е. число вариант, меньших ,

– середина i-ого интервала,

n – объем выборки.

Накопленная частота для j-ого интервала определяется последовательным суммированием частот

.

Соответствующая эмпирическая плотность вероятности определяется соотношением

где – середина i-ого интервала,

– объем выборки.

Эмпирическую плотность вероятности изображают в виде гистограммы – фигуры, состоящей из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы, а высоты равны отношению частоты для этих интервалов к объему выборки.

Порядок выполнения работы

1. Написать m-функцию, формирующую интервальное распределение выборки. Входной параметр: х – вектор элементов выборки. Выходные параметры: х1 – вектор значений левых границ интервалов, х2 – вектор значений правых границ интервалов, х0 – вектор значений центров интервалов, m – вектор значений частот.

2. Сформировать выборку х объемом с нормальным, экспоненциальным и равномерным распределениями с помощью m-функций, полученных в лабораторной работе №2.

3. Для полученных выборок сформировать интервальное распределение с помощью m-функции, полученной в п.1. То есть получить векторы значений х1,х2,x0,m. Привести получившиеся данные в виде таблицы.

4. С помощью рассчитанных векторов х1,х2,x0,m построить графики эмпирических функций распределений.

5. Наложить на полученные графики кривые соответствующих теоретических (генеральных) функций распределения, используя программы, полученные в лабораторной работе №1.

6. Исследовать зависимость вида эмпирических функций распределения от объема выборки n (исследовать сходимость эмпирических функций распределения к генеральным при увеличении объема выборки).

Замечание 1: Формирование ранжированного ряда из выборки х осуществляется функцией sort(x) (упорядочивание значений выборки по возрастанию).

Замечание 2: График эмпирической плотности вероятности нужно строить с помощью функции bar, а эмпирическую функцию распределения выборки – с помощью функции stairs.

Замечание 3: Необходимую информацию по языку MATLAB можно найти в Приложении.

Лабораторная работа №4

ОЦЕНИВАНИЕ КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ВЫБОРОЧНОЙ СОВОКУПНОСТИ

Цели работы

1. Знакомство с оценками координаты центра опытного распределения.

2. Изучение алгоритмов расчета оценок центра распределения по выборке экспериментальных данных.

3. Выбор оптимальной оценки для экспериментальных данных с различными видами распределений.

Основные теоретические положения

При многократных измерениях за оценку результата измерения принимается координаты центра опытного распределения , т.е.

.

Известны несколько оценок координаты центра распределения: среднее арифметическое, медиана, центр срединного размаха, центр размаха.

Среднее арифметическое (выборочное среднее арифметическое) вычисляется по формуле

,

Медианой называют значение , которое делит ранжированный ряд на две части, равные по числу элементов

Центр размаха вычисляется по формуле

,

где – крайние значения вариационного ряда.

Центр срединного размаха определяется по формуле

,

где – 25%-ный и 75%-ный квантили – такие элементы ранжированного ряда, левее которых лежат соответственно 25% и 75% всех значений элементов выборки. Для вычисления квантилей могут быть использованы следующие формулы:

Порядок выполнения работы

1. Написать m-функции для расчета среднего арифметического, медианы, центра размаха, центра срединного размаха. Входной параметр: x – выборка случайных чисел. Выходной параметр: y – значение соответствующей оценки координаты опытного распределения.

2. Сформировать с помощью программ, полученных в лабораторной работе №2, выборку х с нормальным, экспоненциальным и равномерным распределениями. Параметры распределений выбрать произвольно.

3. Рассчитать для каждой выборки все оценки центра распределения с помощью m-функций, полученных в п.1. Привести результаты расчетов в виде таблицы.

4. По результатам расчетов сделать выбор оптимальной оценки центра распределения для каждого рассматриваемого закона.

Замечание 1: Объемы выборок должны быть большими для получения более точного результата.

Замечание 2: Необходимую информацию по языку MATLAB можно найти в Приложении.

Лабораторная работа №5 проверка принадлежности выборочной совокупности к нормальному закону распределения Цели работы

1. Изучение методики проверки нормальности опытного распределения с помощью критерия Пирсона.

2. Реализация изученных алгоритмов в MATLAB.

Основные теоретические положения

Критерии для проверки статистических гипотез о принадлежности выборки к конкретным законам распределения называются критериями согласия.

Критерий Пирсона эффективен при большом объеме выборки (условно ).

Идея критерия состоит в контроле отклонений гистограммы исследуемой выборки от гистограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе нормального распределения.

Для использования критерия необходимо, чтобы в каждый интервал статистического распределения попадало не меньше 5 значений. В случае, если это не так, следует объединить несколько расположенных рядом интервалов в один.

Алгоритм проверки гипотезы по критерию Пирсона:

1. Выдвигается нулевая гипотеза: “генеральная совокупность распределена нормально”. Выбирается значение доверительной вероятности .

2. Рассчитывается для каждого интервала параметр

,

где – середина соответствующего интервала,

– несмещенная оценка стандартного отклонения выборки,

– выборочное среднее арифметическое,